Introducción a la Integración

La integración es una forma de sumar porciones para encontrar el todo.

La integración se puede utilizar para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. Pero es más fácil comenzar por encontrar el área debajo de la curva de una función como esta:

área integral = ?
¿Cuál es el área debajo de y = f(x) ?

Porciones (o rebanadas)

Podríamos calcular la función en algunos puntos y sumar porciones de ancho Δx como en la imagen (pero la respuesta no será muy precisa):

  área integral con un delta x grande
     

Podemos hacer Δx mucho más pequeño y sumar muchas porciones pequeñas (la respuesta es cada vez mejor):

 

  área integral con un delta x pequeño
     
Y a medida que los cortes se acercan a un ancho igual a cero, el resultado se acerca a la verdadera respuesta.

Y escribimos dx para indicar que las porciones Δx se acercan a cero en ancho.
  área integral con delta x

¡Esas son muchas cosas para sumar!

Pero no tenemos que sumar individualmente cada porción, ya que hay un "atajo". Porque ...

... encontrar una integral es lo inverso de encontrar una derivada.

(¡Entonces realmente deberías saber sobre Derivadas antes de seguir leyendo!)

Como se muestra aquí:

Ejemplo: ¿Cuál es la integral de 2x?

integral vs derivada

 

Sabemos que la derivada de x2 es 2x ...

 

... así que la integral de 2x es x2

Verás más ejemplos más adelante.

Notación

integral: notación

El símbolo de "Integral" es una elegante "S" (para "Suma", por la idea de sumar porciones):


Después del Símbolo de Integral colocamos la función de la cual queremos encontrar la integral (llamada Integrando).

Y luego se termina con dx para significar que los cortes van en la dirección x (y tienen un ancho cercano a cero).

Y así es como escribimos la respuesta:

integral de 2x dx = x^2 + C

Más C

La respuesta se escribió como x2, pero, ¿por qué + C ?

Es la "constante de integración". Está ahí debido a todas las funciones cuya derivada es 2x:

muchas integrales vs una derivada

La derivada de x2+4 es 2x, y la derivada de x2+99 también es 2x, etcétera. Esto es así porque la derivada de una constante es cero.

Entonces, cuando invertimos la operación (para encontrar la integral) solo conocemos 2x, pero podría haber habido una constante de cualquier valor.

Así que concluimos esta idea escribiendo + C al final.

 

Grifo y tanque

integral: llave de agua y tanque

La integración es como llenar un tanque con un grifo.

La entrada (antes de la integración) es el flujo del grifo.

Integrar el flujo (sumando todos los chorritos de agua) nos da el volumen de agua en el tanque.

Ejemplo Sencillo: Flujo Constante

integral: flujo constante de la llave de agua en el tanque

 

Integración: con un flujo de 1, el volumen del tanque aumenta en x

Derivación: Si el volumen del tanque aumenta en x, entonces el flujo es 1

¡Esto muestra que las integrales y las derivadas son opuestas!

 

Ahora con un flujo en aumento

Imagina que el flujo comienza en 0 y aumenta gradualmente (tal vez un motor está abriendo lentamente el grifo).

El flujo 2x del agua en el tanque da un volumen x^2

A medida que aumenta el flujo, el tanque se llena cada vez más rápido.

Integración: Con un flujo de 2x, el volumen del tanque aumenta en x2

Derivación: Si el volumen del tanque aumenta en x2, entonces el flujo debe ser 2x

Ejemplo: con el flujo en litros por minuto, y el tanque partiendo de 0

Después de 3 minutos (x=3):

  • la rapidez del flujo es 2x = 2×3 = 6 litros/min,
  • y el volumen es x2 = 32 = 9 litros

Y después de 4 minutos (x=4):

  • la rapidez del flujo es 2x = 2×4 = 8 litros/min,
  • y el volumen es x2 = 42 = 16 litros

 

También podemos hacer lo contrario:

flujo del agua 2x

Imagina que no conoces el flujo.
Solo sabes que el volumen aumenta en
x2.

Podemos ir en reversa (usando la derivada, que nos da la pendiente) y encontrar que el flujo es 2x.

Ejemplo:

  • A 1 minuto el volumen aumenta a 2 litros/minuto (la pendiente del volumen es 2)
  • A los 2 minutos el volumen va aumentando a 4 litros/minuto (la pendiente del volumen es 4)
  • A los 3 minutos el volumen va aumentando a 6 litros/minuto (una pendiente de 6)
  • etc.
integral vs derivada  

De modo que la integral y la derivada son opuestas.

Lo podemos escribir de esta manera:

La integral del flujo 2x nos dice el volumen de agua:

  2x dx = x2 + C

Y la pendiente del incremento en el volumen x2+C nos indica el flujo:

  d/dx(x2 + C) = 2x

 

integral: gráficas del grifo y el tanque

Y oye, incluso tenemos una buena explicación de ese valor de "C" ... ¡tal vez el tanque ya tiene agua!

Lo cual nos enseña a sumar siempre "+ C".

 

Otras funciones

Bueno, ya hemos jugado con y=2x lo suficiente, entonces, ¿cómo integramos otras funciones?

Si tenemos la suerte de encontrar la función en el lado del resultado de una derivada, entonces (sabiendo que las derivadas y las integrales son opuestas) tenemos una respuesta. Pero recuerda agregar C.

Ejemplo: ¿Cuál es cos(x) dx ?

integral vs derivada, cos(x) vs sin(x)

De la Tabla de Reglas de Derivación vemos que la derivada de sin(x) es cos(x), entonces:

cos(x) dx = sin(x) + C

Pero gran parte de este proceso "inverso" ya se ha realizado (ver Reglas de Integración).

Ejemplo: ¿Cuál es x3 dx ?

En las Reglas de Integración hay una "Regla de las Potencias" que dice:

xn dx = xn+1n+1 + C

Podemos usar esa regla con n=3:

x3 dx = x44 + C

Saber cómo usar esas reglas es la clave para ser bueno en Integración.

Así que aprende esas reglas y practica mucho.

¡Aprende las Reglas de Integración y practica! ¡Practica! ¡Practica!
(hay algunas preguntas a continuación para que comiences)

Integrales Indefinidas vs Definidas

Hemos estado haciendo Integrales Indefinidas hasta ahora.

Una Integral Definida tiene valores para calcular (se colocan en la parte inferior y superior de la "S"):

integral indefinida   integral definida
Integral Indefinida   Integral Definida

Lee Integrales Definidas para saber más.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).