Introducción a la Integración
La integración es una forma de sumar porciones para encontrar el todo.
La integración se puede utilizar para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. Pero es más fácil comenzar por encontrar el área debajo de la curva de una función como esta:
¿Cuál es el área debajo de y = f(x) ?
Porciones (o rebanadas)
Podríamos calcular la función en algunos puntos y sumar porciones de ancho Δx como en la imagen (pero la respuesta no será muy precisa): |
||
Podemos hacer Δx mucho más pequeño y sumar muchas porciones pequeñas (la respuesta es cada vez mejor):
|
||
Y a medida que los cortes se acercan a un ancho igual a cero,
el resultado se acerca a la verdadera respuesta. Y escribimos dx para indicar que las porciones Δx se acercan a cero en ancho. |
¡Esas son muchas cosas para sumar!
Pero no tenemos que sumar individualmente cada porción, ya que hay un "atajo". Porque ...
... encontrar una integral es lo inverso de encontrar una derivada.
(¡Entonces realmente deberías saber sobre Derivadas antes de seguir leyendo!)
Como se muestra aquí:
Ejemplo: ¿Cuál es la integral de 2x?
Sabemos que la derivada de x2 es 2x ...
... así que la integral de 2x es x2
Verás más ejemplos más adelante.
Notación
El símbolo de "Integral" es una elegante "S" (para "Suma", por la idea
de sumar porciones):
Después del Símbolo de Integral colocamos la función de la cual queremos
encontrar la integral (llamada Integrando).
Y luego se termina con dx para significar que los cortes van en
la dirección x (y tienen un ancho cercano a cero).
Y así es como escribimos la respuesta:
Más C
La respuesta se escribió como x2, pero, ¿por qué + C ?
Es la "constante de integración". Está ahí debido a todas las funciones cuya derivada es 2x:
La derivada de x2+4 es 2x, y la derivada de
x2+99 también es 2x, etcétera. Esto es así
porque la derivada de una constante es cero.
Entonces, cuando invertimos la operación (para encontrar la
integral) solo conocemos 2x, pero podría haber habido una constante de
cualquier valor.
Así que concluimos esta idea escribiendo + C
al final.
Grifo y tanque
La integración es como llenar un tanque con un grifo.
La entrada (antes de la integración) es el flujo del
grifo.
Integrar el flujo (sumando todos los chorritos de agua) nos da el volumen
de agua en el tanque.
Ejemplo Sencillo: Flujo Constante
Integración: con un flujo de 1, el volumen del tanque aumenta
en x
Derivación: Si el volumen del tanque aumenta en x, entonces el
flujo es 1
¡Esto muestra que las integrales y las derivadas son opuestas!
Ahora con un flujo en aumento
Imagina que el flujo comienza en 0 y aumenta gradualmente (tal vez un motor está abriendo lentamente el grifo).
A medida que aumenta el flujo, el tanque se llena cada vez más rápido.Integración: Con un flujo de 2x, el volumen del tanque aumenta en x2
Derivación: Si el volumen del tanque aumenta en x2, entonces el flujo debe ser 2x
Ejemplo: con el flujo en litros por minuto, y el tanque partiendo de 0
Después de 3 minutos (x=3):
- la rapidez del flujo es 2x = 2×3 = 6 litros/min,
- y el volumen es x2 = 32 = 9 litros
Y después de 4 minutos (x=4):
- la rapidez del flujo es 2x = 2×4 = 8 litros/min,
- y el volumen es x2 = 42 = 16 litros
También podemos hacer lo contrario:
Imagina
que no conoces el flujo.
Solo sabes que el volumen aumenta en
x2.
Podemos ir en reversa (usando la derivada, que nos da la pendiente) y encontrar que el flujo es 2x.
Ejemplo:
- A 1 minuto el volumen aumenta a 2 litros/minuto (la pendiente del volumen es 2)
- A los 2 minutos el volumen va aumentando a 4 litros/minuto (la pendiente del volumen es 4)
- A los 3 minutos el volumen va aumentando a 6 litros/minuto (una pendiente de 6)
- etc.
De modo que la integral y la derivada son opuestas. |
Lo podemos escribir de esta manera:
La integral del flujo 2x nos dice el volumen de agua: |
∫2x dx = x2 + C | |
Y la pendiente del incremento en el volumen x2+C nos indica el flujo: |
(x2 + C) = 2x |
Y oye, incluso tenemos una buena explicación de ese valor de "C" ... ¡tal vez el tanque ya tiene agua!
- El flujo aún estaría aumentando el volumen en la misma cantidad
- Y el aumento de volumen puede devolvernos el flujo.
Lo cual nos enseña a sumar siempre "+ C".
Otras funciones
Bueno, ya hemos jugado con y=2x lo suficiente, entonces, ¿cómo
integramos otras funciones?
Si tenemos la suerte de encontrar la función en el lado del resultado
de una derivada, entonces (sabiendo que las derivadas y las
integrales son opuestas) tenemos una respuesta. Pero recuerda agregar C.
Ejemplo: ¿Cuál es ∫cos(x) dx ?
De la Tabla de Reglas de Derivación vemos que la derivada de sin(x) es cos(x), entonces:
∫cos(x) dx = sin(x) + C
Pero gran parte de este proceso "inverso" ya se ha realizado (ver Reglas de Integración).
Ejemplo: ¿Cuál es ∫x3 dx ?
En las Reglas de Integración hay una "Regla de las Potencias" que dice:
∫xn dx = xn+1n+1 + C
Podemos usar esa regla con n=3:
∫x3 dx = x44 + C
Saber cómo usar esas reglas es la clave para ser bueno en Integración.
Así que aprende esas reglas y practica mucho.
¡Aprende las Reglas
de Integración y practica! ¡Practica! ¡Practica!
(hay algunas preguntas a continuación para que comiences)
Integrales Indefinidas vs Definidas
Hemos estado haciendo Integrales Indefinidas hasta
ahora.
Una Integral Definida tiene valores
para calcular (se colocan en la parte inferior y superior de la "S"):
Integral Indefinida | Integral Definida |
Lee Integrales Definidas para saber más.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).