Reglas de Derivación
La Derivada
nos dice la rapidez de cambio de una función en cualquier punto, la
cual se puede visualizar geométricamente como la pendiente en
cualquier punto.
Hay reglas que podemos seguir para encontrar muchas derivadas.
Por ejemplo:
- La pendiente de un valor constante (como 3) siempre es 0
- La pendiente de una línea como 2x es 2, o 3x es 3, etc.
- y así.
Aquí hay reglas útiles que te ayudarán a calcular las derivadas de muchas funciones (con ejemplos más adelante). Nota: la pequeña marca ’ significa "Derivada de", y f y g son funciones.
| Funciones comunes | Función | Derivada |
|---|---|---|
| Constantes | c | 0 |
| Líneas rectas | x | 1 |
| ax | a | |
| Potencia cuadrada | x2 | 2x |
| Raíz cuadrada | √x | (½)x-½ |
| Exponenciales | ex | ex |
| ax | ln(a) ax | |
| Logaritmos | ln(x) | 1/x |
| loga(x) | 1 / (x ln(a)) | |
| Trigonométricas (x en radianes) | sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) | |
| tan(x) | sec2(x) | |
| Trigonométricas Inversas | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
| cos-1(x) | −1/√(1−x2) | |
| tan-1(x) | 1/(1+x2) | |
| Reglas | Función | Derivada |
| Multiplicación por una constante | cf | cf’ |
| Regla de las Potencias | xn | nxn−1 |
| Regla de Suma | f + g | f’ + g’ |
| Regla de Resta | f − g | f’ − g’ |
| Regla del Producto | fg | f g’ + f’ g |
| Regla del Cociente | f/g | (f’ g − g’ f )/g2 |
| Regla del Recíproco | 1/f | −f’/f2 |
| Regla de la Cadena (con "Composición de Funciones") |
f º g | (f’ º g) × g’ |
| Regla de la Cadena (usando ’ ) | f(g(x)) | f’(g(x))g’(x) |
| Regla de la Cadena (usando d dx ) | dy dx = dy du du dx | |
"La derivada de" también se escribe como d dx
En consecuencia, tanto d dx sin(x) como sin(x)’ significan "La derivada de sin(x)"
Ejemplos
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de sin(x)?
De la tabla anterior, se sabe que es cos(x)
Se puede escribir como:
sin(x) = cos(x)
O también:
sin(x)’ = cos(x)
Regla General de las Potencias
Ejemplo: ¿Cuál es x3 ?
Nos preguntan "¿Cuál es la derivada de x3 ?"
Podemos usar la Regla de las Potencias, donde n=3:
xn = nxn−1
x3 = 3x3−1
= 3x2
(En otras palabras, la derivada de x3 es 3x2)
Por lo tanto, queda simplemente así:
"multiplica por la potencia
luego resta 1 a la potencia"
También se puede utilizar en casos como este:
Ejemplo: ¿Cuál es (1/x) ?
1/x también es x-1
Podemos usar la Regla de las Potencias, donde n = −1:
xn = nxn−1
x−1 = −1x−1−1
= −x−2
= −1x2
Es decir, hicimos esto:
lo que se simplifica a −1/x2
Multiplicación por una constante
Ejemplo: ¿Cuál es 5x3 ?
la derivada de cf = cf’
la derivada de 5f = 5f’
Sabemos (por la Regla de las Potencias) que:
x3 = 3x3−1
= 3x2
Por lo tanto:
5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2
Regla de la Suma
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de x2+x3 ?
La Regla de la Suma nos dice:
la derivada de f + g = f’ + g’
Por lo tanto, podemos calcular cada derivada por separado y luego sumarlas.
Usando la Regla General de las Potencias:
- x2 = 2x
- x3 = 3x2
Y finalmente:
la derivada de x2 + x3 = 2x + 3x2
Regla de la Resta
No tiene que ser siempre x, podemos diferenciar con respecto a, por ejemplo, v:
Ejemplo: ¿Cuál es 
(v3−v4)
?
La Regla de la Resta nos dice:
la derivada de f − g = f’ − g’
Por lo tanto, podemos calcular cada derivada por separado y luego restarlas.
Usando la Regla General de las Potencias:
- v3 = 3v2
- v4 = 4v3
Y finalmente::
la derivada de v3 − v4 = 3v2 − 4v3
Suma, resta, multiplicación por una constante y potencias
Ejemplo: ¿Cuál es 
(5z2 + z3
− 7z4) ?
Usando la Regla de las Potencias:
- z2 = 2z
- z3 = 3z2
- z4 = 4z3
Luego:
(5z2 + z3
− 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z
+ 3z2 − 28z3
Regla del Producto
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?
La Regla del Producto dice:
la derivada de fg = f g’ + f’ g
En este caso:
- f = cos
- g = sin
Sabemos (de la tabla de arriba):
- cos(x) = −sin(x)
- sin(x) = cos(x)
Por lo tanto:
la derivada de cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) −
sin(x)sin(x)
= cos2(x) − sin2(x)
Regla del Cociente
Para ayudarte a recordar
(fg)’ = gf’ − fg’g2
La derivada de "Arriba entre Abajo" es:
"Abajo d-Arriba menos Arriba
d-Abajo, dividido todo entre el cuadrado de Abajo"
Otra forma de recordar la regla del cociente es recordar que la regla del cociente necesita un cociente, y queda así:
"La función de Abajo va abajo
pero al cuadrado. Y arriba empezamos con la función de Abajo por la
derivada de la de Arriba, menos la de Arriba por la derivada de la
de Abajo"
Sin duda parece un poco complicada al inicio, pero con la práctica la recordarás fácilmente.
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)/x ?
En este caso:
- f = cos
- g = x
Sabemos (de la tabla de arriba):
- f' = −sin(x)
- g' = 1
Por lo tanto:
la derivada de cos(x)x = Abajo d-Arriba menos Arriba d-Abajodividido todo entre el cuadrado de Abajo
= x(−sin(x)) − cos(x)(1)x2
= −xsin(x) + cos(x)x2
Regla del Recíproco
Ejemplo: ¿Cuál es (1/x) ?
La Regla del Recíproco dice:
la derivada de 1f = −f’f2
y dado que f(x)= x, sabemos que f’(x) = 1
Por lo tanto:
la derivada de 1x = −1x2
Que es el mismo resultado que obtuvimos arriba usando la Regla de las Potencias.
Regla de la Cadena
Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2) ?
sin(x2) está compuesta por sin() y x2:
- f(g) = sin(g)
- g(x) = x2
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = cos(g)
- g'(x) = 2x
Por lo tanto:
d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)
= 2x cos(x2)
Otra forma de escribir la Regla de la Cadena es: dy dx = dy du du dx
Hagamos nuevamente el ejemplo anterior usando esa fórmula:
Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2) ?
dy dx = dy du du dx
Sea u = x2, por lo que y = sin(u):
d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2
Deriva individualmente:
d dx sin(x2) = cos(u) (2x)
Sustituye de vuelta u = x2 y simplifica:
d dx sin(x2) = 2x cos(x2)
El mismo resultado que antes (¡gracias al cielo!)
Otros ejemplos de la Regla de la Cadena:
Ejemplo: ¿Cuál es (1/cos(x)) ?
1/cos(x) está compuesta por 1/g y cos():
- f(g) = 1/g
- g(x) = cos(x)
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = −1/(g2)
- g'(x) = −sin(x)
Por lo tanto:
(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)
= sin(x)/cos2(x)
Nota: sin(x)/cos2(x) es lo mismo que tan(x)/cos(x), entre otras formas.
Ejemplo: ¿Cuál es (5x−2)3 ?
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
(5x-2)3 está compuesta por g3 y 5x-2:
- f(g) = g3
- g(x) = 5x−2
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = 3g2 (por la Regla de las Potencias)
- g'(x) = 5
Por lo tanto:
(5x−2)3
= 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
