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Composición de funciones

La "composición de funciones" es aplicar una función a los resultados de otra:

Composición de funciones

El resultado de f() se manda a g()

Se escribe: (g º f)(x)

Lo cual significa: g(f(x))

 

Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2

"x" es solo un marcador de posición. Para evitar confusiones llamémoslo simplemente "entrada":

f(entrada) = 2(entrada)+3

g(entrada) = (entrada)2

Comencemos:

(g º f)(x) = g(f(x))

Primero aplicamos f, luego aplicamos g a ese resultado:

Composición de funciones

(g º f)(x) = (2x+3)2

 

¿Y si invertimos el orden de f y g?

(f º g)(x) = f(g(x))

Primero aplicamos g, luego aplicamos f a ese resultado:

Composición de funciones

(f º g)(x) = 2x2+3

 

¡Obtenemos un resultado diferente!

Cuando invertimos el orden, el resultado rara vez es el mismo.

Así que ten cuidado identificando bien cuál función viene primero.

Símbolo

El símbolo de la composición es un pequeño círculo:

(g º f)(x)

No es un punto relleno como aquí (g · f)(x), ya que eso significa multiplicar.

Compuesta consigo misma

¡Incluso podemos componer una función consigo misma!

Ejemplo: f(x) = 2x+3

 

(f º f)(x) = f(f(x))

Primero aplicamos f, luego aplicamos f a ese resultado:

Composición de funciones

(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9

Deberíamos poder hacerlo sin el diagrama:

(f º f)(x)= f(f(x))
 = f(2x+3)
 = 2(2x+3)+3
 = 4x + 9

Dominios

Hasta ahora ha sido fácil, pero ahora debemos considerar los dominios de las funciones.

gráfica de dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los valores que entran en una función.

La función debe ser válida para todos los valores que le damos, por lo que depende de nosotros asegurarnos de obtener el dominio correcto.


Ejemplo: el dominio de √x (la raíz cuadrada de x)

No podemos tener la raíz cuadrada de un número negativo (a menos que usemos números imaginarios, pero no los usaremos en esta ocasión), por lo que debemos excluir los números negativos:

El dominio de √x son todos números reales no negativos

En la recta numérica se ve así:

del cero en adelante

Usando notación de conjuntos se escribe así:

{ xmember ofreales | x ≥ 0}

O usando notación de intervalos queda así:

[0,+∞)

¡Es importante obtener el dominio correcto u obtendremos malos resultados!

Dominio de la función compuesta

Debemos obtener ambos dominios correctamente (la función compuesta y la primera función utilizada).

Al calcular, por ejemplo, (g º f)(x) = g(f(x)):
  • Asegúrate de obtener el dominio para f(x) correctamente,
  • Luego también asegúrate de que g(x) tenga el dominio correcto

Ejemplo: f(x) = √x y g(x) = x2

El dominio de f(x) = √x son todos números reales no negativos

El dominio de g(x) = x2 son todos los números reales

La función compuesta es:

(g º f)(x) = g(f(x))
 = (√x)2
 = x

Ahora, "x" normalmente tiene el dominio de todos los números reales ...

... pero debido a que es una función compuesta también debemos considerar f(x),

Entonces el dominio es todos números reales no negativos

¿Por qué ambos dominios?

Bueno, imagina que las funciones son máquinas ... la primera funde un agujero con una llama (solo para metal), la segunda perfora un poco más el agujero (funciona en madera o metal):

Composición de funciones

Fuego

Lo que vemos al final es un agujero perforado, y podemos pensar "eso debería funcionar para madera o metal".

¡Pero si ponemos madera en g º f entonces la primera función f hará un incendio y quemará todo!

Entonces, lo que sucede "dentro de la máquina" es importante.

 

Descomponer una función

Podemos ir en la otra dirección y dividir una función en una composición de otras funciones.

Ejemplo: (x+1/x)2

Esa función se puede realizar a partir de estas dos funciones:

f(x) = x + 1/x

g(x) = x2

Y obtenemos:

(g º f)(x) = g(f(x))
 = g(x + 1/x)
 = (x + 1/x)2

Esto puede resultar útil si la función original es demasiado complicada para trabajar.

Resumen

  • La "composición de funciones" es aplicar una función a los resultados de otra.
  • (g º f)(x) = g(f(x)), primero aplicamos f(), luego aplicamos g()
  • También debemos respetar el dominio de la primera función
  • Algunas funciones se pueden descomponer en dos (o más) funciones más simples.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

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