Notación de conjuntos

Cómo describir un conjunto diciendo qué propiedades tienen sus miembros.

conjunto de varios números enteros

Un conjunto es una colección de cosas, generalmente números.

Ejemplo: {5, 7, 11} es un conjunto.

Pero también podemos "construir" un conjunto describiendo lo que hay en él.

Aquí hay un ejemplo simple en notación de conjuntos:

Notación de conjuntos

Dice "el conjunto de todas las x, tal que la x es mayor que 0".

En otras palabras, cualquier valor mayor que 0

Notas:

  • La "x" es sólo un marcador de posición, podría ser cualquier cosa, como { q | q > 0 }
  • Algunas personas usan ":" en lugar de "|", así que escriben { x : x > 0 }

Tipo de número

También es normal mostrar que tipo de número es x, así:

Notación de conjuntos

Entonces queda así:

"el conjunto de todas las X que son miembros de los Números Reales,
tales que x es mayor o igual a 3"

En otras palabras, "todos los números reales de 3 en adelante"

Hay otras formas en las que podríamos haber demostrado eso:

En la recta numérica se ve así: [3, infinito)

En notación de intervalos se ve así: [3, +∞)

Tipos de números

Vimos el símbolo reales (el símbolo especial de los números reales). Aquí están los tipos comunes de números:

Números Naturales Números Enteros Números Racionales Números Reales Números Imaginarios Números Complejos
Números Naturales Números Enteros Números Racionales Números Reales Números Imaginarios Números Complejos

 

Ejemplo: { k member of reals | k > 5 }

"el conjunto de todas las k que son un miembro de los Enteros, de tal manera que k es mayor que 5".

En otras palabras, todos los números enteros mayores de 5.

Esto también podría escribirse {6, 7, 8, ... } ...así que...:

{ k member of reals | k > 5 } = {6, 7, 8, ... }

¿Por qué usarla?

Cuando tenemos un conjunto simple como los números enteros de 2 a 6 podemos escribir:

{2, 3, 4, 5, 6}

Pero, ¿cómo podemos listar los números reales en el mismo intervalo?

{2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, ... ???

Así que en lugar de eso decimos cómo construir la lista:

{ x elemento de reales | x ≥ 2 y x ≤ 6 }
 Empieza con todos los números reales, luego limítalos entre 2 y 6 inclusivo.

También podemos usar la notación de conjuntos para hacer otras cosas, como esto:

{ x elemento de reales | x = x2 } = {0, 1}
Todos los números reales tales que x = x2
0 y 1 son los únicos casos en los que x = x2

Otro Ejemplo:

Ejemplo: x ≤ 2 o x > 3

La notación de conjuntos se ve así:

{ x elemento de reales | x ≤ 2 o x >3 }

En la línea de números queda así:

dos intervalos

Usando la notación de Intervalos queda:

(−∞, 2]  U  (3, +∞)

Usamos una "U" para indicar Unión (unir dos conjuntos).

 

Definir un dominio

La notación de conjuntos es muy útil a la hora de definir dominios.

gráfica: dominio y rango

En su forma más simple, el dominio es el conjunto de todos los valores que entran en una función.


La función debe funcionar para todos los valores que le demos, ¡así que depende de nosotros asegurarnos de que el dominio sea correcto!

Ejemplo: El dominio de 1/x

1/x no está definida en x=0 (porque 1/0 es dividir entre cero).

Así que debemos excluir x=0 del Dominio:

El dominio de 1/x son todos los números reales, excepto el 0.

Podemos escribir esto así:

Dom(1/x) = {x elemento de reales | x ≠ 0}

Ejemplo: El dominio de g(x)=1/(x−1)

1/(x−1) no está definida en x=1, por lo que debemos excluir x=1 del Dominio:

El dominio de 1/(x-1) son todos los números reales, excepto el 1

Usando la notación de conjuntos se escribe:

Dom( g(x) ) = { xelemento de reales | x ≠ 1}

Ejemplo: El dominio de √x

Son todos los números reales a partir de 0, porque no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo (a menos que usemos Números Imaginarios, los cuales no estamos usando en este momento).

Se escribe:

Dom(√x) = {x elemento de reales | x ≥ 0}

Ejemplo: El dominio de f(x) = x/(x2 − 1)

Para evitar la división por cero necesitamos: x2 − 1 ≠ 0

Factorizamos: x2 - 1 = (x−1)(x+1)

(x−1)(x+1) = 0 cuando x = 1 o x = −1, ¡lo cual queremos evitar!

Entonces:

Dom( f(x) ) = {x elemento de reales | x ≠ 1, x ≠ −1}

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).