Regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpital nos puede ayudar a calcular un límite que de otra forma sería muy difícil o imposible.
L'Hôpital se pronuncia "lopital", y fue un matemático francés del siglo XVII.
Dice que el límite cuando dividimos una función por otra es el mismo
después de tomar la derivada
de cada función (con algunas condiciones especiales que se muestran más
adelante).
En símbolos podemos escribir:
limx→cf(x)g(x) = limx→cf’(x)g’(x)
El límite cuando x tiende a c de "f-de-x sobre
g-de-x" es igual al
el límite cuando x tiende a c de "f-prima-de-x sobre
g-prima-de-x"
Todo lo que hicimos fue agregar ese pequeño apóstrofo ’ en cada función, lo que significa tomar la derivada.
Ejemplo:
limx→2x2+x−6x2−4
En x=2 tendríamos lo siguiente:
22+2−622−4 = 00
Lo cual es un valor indeterminado,
así que estamos atascados. ¿O no?
¡Probemos L'Hôpital!
Derivemos tanto arriba como abajo (ver Reglas
de Derivación):
limx→2x2+x−6x2−4 = limx→22x+1−02x−0
Y para tener nuestra respuesta solo sustituimos x=2:
limx→22x+1−02x−0 = 54
Nota: también podemos obtener esta respuesta factorizando, consulta Evaluar Límites.
Ejemplo:
limx→∞exx2
Normalmente este es el resultado:
limx→∞exx2 = ∞∞
Ambas se dirigen al infinito. Lo cual es indeterminado.
Pero vamos a diferenciar tanto la parte superior como la inferior (ten
en cuenta que la derivada de ex es ex):
limx→∞exx2 = limx→∞ex2x
Hmmm, aún no queda resuelto, pues ambos siguen tendiendo hacia el infinito. Pero podemos usarlo de nuevo:
limx→∞exx2 = limx→∞ex2x = limx→∞ex2
Ahora tenemos:
limx→∞ex2 = ∞
Esto nos muestra que ex crece mucho más rápido que x2.
Casos
Ya hemos visto ejemplos que incluyen indeterminaciones 00 y ∞∞
Aquí están todas las formas indeterminadas en las que la Regla de L'Hopital puede ayudar:
00 ∞∞ 0×∞ 1∞ 00 ∞0 ∞−∞
Condiciones
Diferenciable
Para un límite que tiende a c, las funciones originales deben ser
diferenciables a ambos lados de c, pero no necesariamente en c.
Del mismo modo, g’(x) no es igual a cero en ninguno de los lados de c.
El límite debe existir
El límite debe existirlimx→cf’(x)g’(x)
¿Por qué? Bueno, un buen ejemplo son las funciones que nunca se asientan en un valor.
Ejemplo:
limx→∞x+cos(x)x
Este es un caso ∞∞. Diferenciemos arriba y abajo:
limx→∞1−sin(x)1
Y debido a que simplemente se mueve hacia arriba y hacia abajo, nunca
se acerca a ningún valor.
¡Así que ese nuevo límite no existe!
Por tanto, la regla de L'Hôpital no se puede utilizar en este caso.
PERO podemos hacer esto:
limx→∞x+cos(x)x = limx→∞(1 + cos(x)x)
Cuando x tiende a infinito se tiene que cos(x)x
oscila entre −1∞
y +1∞, y ambos
valores tienden a cero.
Y nos queda solo el "1", así que:
limx→∞x+cos(x)x = limx→∞(1 + cos(x)x) = 1