Regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital nos puede ayudar a calcular un límite que de otra forma sería muy difícil o imposible.

L'Hôpital se pronuncia "lopital", y fue un matemático francés del siglo XVII.

Dice que el límite cuando dividimos una función por otra es el mismo después de tomar la derivada de cada función (con algunas condiciones especiales que se muestran más adelante).

En símbolos podemos escribir:

limx→cf(x)g(x) = limx→cf’(x)g’(x)

El límite cuando x tiende a c de "f-de-x sobre g-de-x" es igual al
el límite cuando x tiende a c de "f-prima-de-x sobre g-prima-de-x"

Todo lo que hicimos fue agregar ese pequeño apóstrofo ’ en cada función, lo que significa tomar la derivada.

Ejemplo:
limx→2x²+x−6x²−4

En x=2 tendríamos lo siguiente:

2²+2−62²−4 = 00

Lo cual es un valor indeterminado, así que estamos atascados. ¿O no?

¡Probemos L'Hôpital!

Derivemos tanto arriba como abajo (ver Reglas de Derivación):

limx→2x²+x−6x²−4 = limx→22x+1−02x−0

Y para tener nuestra respuesta solo sustituimos x=2:

limx→22x+1−02x−0 = 54

Nota: también podemos obtener esta respuesta factorizando, consulta Evaluar Límites.

Ejemplo:
limx→∞e^xx²

Normalmente este es el resultado:

limx→∞e^xx² = ∞∞

Ambas se dirigen al infinito. Lo cual es indeterminado.

Pero vamos a diferenciar tanto la parte superior como la inferior (ten en cuenta que la derivada de e^x es e^x):

limx→∞e^xx² = limx→∞e^x2x

Hmmm, aún no queda resuelto, pues ambos siguen tendiendo hacia el infinito. Pero podemos usarlo de nuevo:

limx→∞e^xx² = limx→∞e^x2x = limx→∞e^x2

Ahora tenemos:

limx→∞e^x2 = ∞

Esto nos muestra que e^x crece mucho más rápido que x².

Casos

Ya hemos visto ejemplos que incluyen indeterminaciones 00 y ∞∞

Aquí están todas las formas indeterminadas en las que la Regla de L'Hopital puede ayudar:

00 ∞∞ 0×∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰ ∞−∞

Condiciones

Diferenciable

Para un límite que tiende a c, las funciones originales deben ser diferenciables a ambos lados de c, pero no necesariamente en c.

Del mismo modo, g’(x) no es igual a cero en ninguno de los lados de c.

El límite debe existir

limx→cf’(x)g’(x)

¿Por qué? Bueno, un buen ejemplo son las funciones que nunca se asientan en un valor.

Ejemplo:
limx→∞x+cos(x)x

Este es un caso ∞∞. Diferenciemos arriba y abajo:

limx→∞1−sin(x)1

Y debido a que simplemente se mueve hacia arriba y hacia abajo, nunca se acerca a ningún valor.

¡Así que ese nuevo límite no existe!

Por tanto, la regla de L'Hôpital no se puede utilizar en este caso.

PERO podemos hacer esto:

limx→∞x+cos(x)x = limx→∞(1 + cos(x)x)

Cuando x tiende a infinito se tiene que cos(x)x oscila entre −1∞ y +1∞, y ambos valores tienden a cero.

Y nos queda solo el "1", así que:

limx→∞x+cos(x)x = limx→∞(1 + cos(x)x) = 1