Conjunto cerrado
Decimos que un conjunto es cerrado cuando una operación (como "sumar") sobre los elementos de un conjunto (como los "números reales") produce un elemento del mismo conjunto. |
Entonces el resultado permanece en el mismo conjunto.
Ejemplo: cuando sumamos dos números reales obtenemos otro número real
3.1 + 0.5 = 3.6
Esto siempre es cierto, así que: los números reales son cerrados bajo la suma.
Ejemplo: Al restar dos números naturales podría no resultar en un número natural
4 − 9 = −5
−5 no es un número natural (los números naturales no pueden ser negativos)
Entonces: los números naturales no
son cerrados bajo la resta
¡Esta es una idea general, y puede aplicarse a cualquier tipo de operación en cualquier tipo de conjunto!
Ejemplo: el juego de camisas
Para la operación "lavado", la camisa sigue siendo una camisa después del lavado.- Así que las camisas son cerradas bajo la operación "lavar"
- Así que las camisas no son cerradas bajo la operación "rasgar"
Conjuntos
Un conjunto es una colección de cosas (normalmente números). Ejemplos:
- Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
- Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
- Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
- Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}
Veamos más de cerca un conjunto:
Ejemplo: Números impares {..., -3, -1, 1, 3, ...}
¿Es el conjunto de números impares cerrado bajo las operaciones simples + − × ÷ ?
- ¿Suma? 3 + 7 = 10 pero 10 es par, no impar, así que no
- ¿Resta? 11 − 3 = 8 pero 8 es par, no impar, así que no
- ¿Multiplicación? 5 × 7 = 35 sí... de hecho multiplicar números impares siempre produce números impares, por lo que los números impares son cerrados bajo la multiplicación
- ¿División? 33/3 = 11 ¡que se ve bien! Pero intenta 33/5 = 6.6 que no es impar, entonces no
Pero para decir que ESTÁ cerrado, debemos saber que SIEMPRE está cerrado (solo un ejemplo sería insuficiente ya que podría engañarnos).