Funciones crecientes y decrecientes

Funciones crecientes

Una función está "aumentando" cuando el valor de y aumenta a medida que aumenta el valor de x, así:

Función creciente

Es fácil ver que y=f (x) tiende a subir a medida que avanza.

¿Planicie?

¿Qué pasa con esa parte plana cerca del comienzo? ¿Eso está bien?

Usando álgebra

¿Qué pasa si no podemos trazar la gráfica para ver si está aumentando? En ese caso, necesitamos una definición usando álgebra.

Para una función y=f(x):
cuando x1 < x2, si f(x1) ≤ f(x2)   Creciente
cuando x1 < x2, si f(x1) < f(x2)   Estrictamente creciente

Eso tiene que ser cierto para cualquier x1, x2, no solo para algunos valores que pudiéramos elegir.

Las partes importantes son los signos < y   ... ¡recuerda dónde van!

 

Un ejemplo:

Función creciente
Esta es también una función creciente
aunque la tasa de crecimiento se reduce

Para un intervalo

Por lo general, solo nos interesa algún intervalo, como este:

Función creciente en un intervalo

Esta función aumenta para el intervalo mostrado
(puede estar aumentando o disminuyendo en otros lugares)

Funciones decrecientes

El valor de y decrece a medida que aumenta el valor de x:

Función decreciente

Para una función y=f(x):

cuando x1 < x2, si f(x1) ≥ f(x2)   Decreciente
cuando x1 < x2, si f(x1) > f(x2)   Estrictamente decreciente

Observa que f(x1) ahora es mayor que (o igual a) f(x2).

Un ejemplo

Intentemos encontrar dónde aumenta o disminuye una función.

Ejemplo: f(x) = x3−4x, para x en el intervalo [−1,2]

Dibujémosla, incluyendo el intervalo [−1,2]:

Función de ejemplo

A partir de −1 (el comienzo del intervalo [−1,2]):

  • en x = −1 la función está disminuyendo,
  • continúa disminuyendo hasta aproximadamente 1.2
  • luego aumenta desde allí, más allá de x = 2
Sin un análisis exacto no podemos precisar dónde la curva pasa de disminuir a aumentar, así que digamos:

Dentro del intervalo [−1,2]:
  • la curva disminuye en el intervalo [−1, aprox 1.2]
  • la curva aumenta en el intervalo [aprox 1.2, 2]

Funciones constantes

Una función constante es una línea horizontal:

Función Constante

Rectas

De hecho, las líneas aumentan, disminuyen o son constantes.

La ecuación de una recta es:

y = mx + b

Función Constante

La pendiente m nos dice si la función es creciente, decreciente o constante:

m < 0   decreciente
m = 0   constante
m > 0   creciente

Uno a uno

Las funciones estrictamente crecientes (y estrictamente decrecientes) tienen una propiedad especial llamada "inyectiva" o "uno a uno" que simplemente significa que nunca obtenemos el mismo valor "y" dos veces.

Función General
Función General

Función Inyectiva
"Inyectiva" (uno a uno)

¿Por qué es útil esto? ¡Porque las funciones inyectivas se pueden invertir!

Podemos volver de un valor "y" a un valor "x" (lo cual no podemos hacer cuando hay más de un posible valor "x").

Lee Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo para saber más.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).