Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":


General, Injective, Surjective and Bijective Functions

 

Veamos esto más de cerca:

Una función general va desde cada miembro de "A" a un miembro de "B".

Nunca tiene una "A" relacionada con más de una "B", así que uno a muchos no está permitido en una función (así que algo como "f(x) = 7 o 9" no es válido)

Pero más de una "A" puede apuntar a la misma "B" (muchos a uno está bien)
Inyectivo significa que no tendremos dos o más "A" apuntando a la misma "B".

Así que muchos a uno no está bien (lo cual está bien para una función general).

Como también es una función, uno a muchos no es válido   

Pero podemos tener una "B" sin una "A" correspondiente.

Inyectivo también se llama "Uno a uno"

Sobreyectivo significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

No quedará ni una "B" fuera.

Biyectivo significa inyectivo y sobreyectivo a la vez.

Piensa en ello como un "emparejamiento perfecto" entre los conjuntos: cada uno tiene una pareja y nadie se queda fuera.

Así que hay una "correspondencia perfecta uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

(Pero no te confundas con el término "Uno a Uno" que se usa para referirse a las funciones inyectivas).

¡Las funciones biyectivas tienen un inverso!

Si cada "A" va a una "B" única, y cada "B" tiene una "A" correspondiente, entonces podemos ir hacia atrás y hacia delante sin perdernos en el camino.

Lee funciones inversas para saber más.

En una gráfica

Así que veamos algunos ejemplos para entender qué está pasando.

Cuando A y B son subconjuntos de los números reales, podemos graficar la relación.

Tengamos A en el eje X y B en Y, y observemos nuestro primer ejemplo:

function not single valued

Esto no es una función porque tenemos una A con muchas B. Es como decir que f(x) = 2 o 4

Falla en la "Prueba de la línea vertical" y por lo tanto no es una función. Pero sigue siendo una relación válida, así que no te enfades con ella.

Ahora, una función general puede ser así:

General Function
   Una función general

PUEDE (posiblemente) tener una B con muchas A. Por ejemplo, el seno, el coseno, etc. son así. Funciones perfectamente válidas.

Pero una "Función Inyectiva" es más estricta, y se ve así:

Injective Function
"Injectiva" (uno a uno)

De hecho podemos hacer una "Prueba de línea horizontal":

Para ser inyectiva, una Línea Horizontal nunca debe intersectar la curva en 2 o más puntos.

(Nota: Las funciones estrictamente crecientes (y estrictamente decrecientes) son inyectivas, puede que quieras leer sobre ellos para más detalles)

Entonces:

Definiciones formales

Bien, prepárate para más detalles sobre todo esto:

Inyectiva

Una función f es inyectiva si y solo si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales números reales a números reales es una función inyectiva.

¿Es cierto que siempre que f(x) = f(y), x = y ?

Imagina x=3, luego:

  • f(x) = 8

Ahora, si digo que f(y) = 8, ¿cuál es el valor de y? Solo puede ser 3, así que x=y


Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de números reales números reales a números reales  no es una función inyectiva por este tipo de detalle:

  • f(2) = 4 y
  • f(-2) = 4

Esto va en contra de la definición f(x) = f(y), x = y, porque f(2) = f(-2) pero 2 ≠ -2

En otras palabras, hay dos valores de A que apuntan a un B.

 

PERO si lo hiciéramos partiendo del conjunto de números naturales números naturales a números naturales entonces sí es injectiva, porque:

  • f(2) = 4
  • no hay f(-2), porque -2 no es un número natural
¡Así que el dominio y el codominio de cada conjunto es importante!

 

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

En términos simples: cada B tiene una A.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales números naturales a números naturales no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de números naturales va al 3 por esta función.

 

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si hay una correspondencia uno a uno, es decir, es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

Pero la misma función del conjunto de todos los números reales números reales no  es biyectiva porque podríamos tener, por ejemplo, ambos

  • f(2)=4 y
  • f(-2)=4

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).