Funciones inversas
¡Una función inversa va al revés!
Comencemos con un ejemplo:
Aquí tenemos la función f(x) = 2x+3, escrita como un diagrama de flujo:
La función inversa va al revés:
Así que la inversa de: 2x+3 es: (y-3)/2
La inversa generalmente se muestra poniendo un pequeño "-1" después del nombre de la función, así:
f-1(y)
Lo leemos como "f inversa de y"
Entonces, la inversa de f(x) = 2x+3 se escribe:
f-1(y) = (y-3)/2
(Otro detalle es que usé y en lugar de x para mostrar que estamos usando un valor diferente).
Volver a donde empezamos
Lo bueno de la inversa es que debería devolvernos el valor original:
Cuando la función f convierte la manzana en
un plátano,
luego la función inversa f-1
regresa el plátano a la manzana.
Ejemplo:
Usando las fórmulas de arriba, podemos comenzar con x=4:
f(4) = 2×4+3 = 11
Entonces podemos usar la inversa en el 11:
f-1(11) = (11-3)/2 = 4
¡Y mágicamente recuperamos el 4 de nuevo!
Podemos escribir eso en una línea:
f-1( f(4) ) = 4
"f inversa de f de 4 es igual a 4"
Por lo que aplicar una función f y luego su inversa f-1 nos devuelve el valor original:
f-1( f(x) ) = x
También podríamos haber puesto las funciones en el otro orden y también funciona:
f( f-1(x) ) = x
Ejemplo:
Empieza con:
f-1(11) = (11-3)/2 = 4
Y luego:
f(4) = 2×4+3 = 11
Finalmente:
f( f-1(11) ) = 11
"f de f inversa de 11 es igual a 11"
Resolver usando álgebra
Podemos calcular la inversa usando álgebra. Pon "y" por "f (x)" y resuelve para x:
La función: | f(x) | = | 2x+3 | |
Pon "y" por "f(x)": | y | = | 2x+3 | |
Resta 3 de ambos lados: | y-3 | = | 2x | |
Divide ambos lados por 2: | (y-3)/2 | = | x | |
Voltea los lados: | x | = | (y-3)/2 | |
Solución (pon "f-1(y)" por "x") : | f-1(y) | = | (y-3)/2 |
Este método funciona bien para inversas más difíciles.
Fahrenheit a Centígrados
Un ejemplo útil es convertir entre Fahrenheit y Centígrados:
Para ti: ¡mira si puedes seguir los pasos para crear esa inversa!
Inversas de funciones comunes
Hasta ahora ha sido fácil, porque sabemos que la inversa de Multiplicar
es Dividir y la inversa de Sumar es Restar, pero ¿qué pasa con otras
funciones?
Aquí hay una lista para ayudarte:
Inversas | ¡Cuidado! | ||
<=> | |||
<=> | No dividas entre cero | ||
1x | <=> | 1y | x y y distintos de cero |
x2 | <=> | x y y ≥ 0 | |
xn | <=> | o | n no es cero (reglas diferentes cuando n es impar, par, negativo o positivo) |
ex | <=> | ln(y) | y > 0 |
ax | <=> | loga(y) | y y a > 0 |
sin(x) | <=> | sin-1(y) | -π/2 a +π/2 |
cos(x) | <=> | cos-1(y) | 0 a π |
tan(x) | <=> | tan-1(y) | -π/2 a +π/2 |
(Nota: puedes leer más sobre Inversas de Seno, Coseno y Tangente.)
¡Cuidado!
¿Viste el mensaje "¡Cuidado!" columna de arriba? Eso es porque algunas inversas funcionan solo con ciertos valores.
Ejemplo: Elevar al cuadrado y raíz cuadrada
Cuando elevamos al cuadrado un número negativo y luego hacemos lo inverso, esto sucede:
¡Pero no recuperamos el valor original! Tenemos 2 en lugar de −2. ¡Es nuestra culpa por no tener cuidado!
Entonces, la función cuadrada (tal como está) no tiene una inversa.
¡Pero tiene arreglo!
Restringir el Dominio (los valores que pueden entrar en una función).
Ejemplo: (continuación)
Solo asegúrate de no usar números negativos.En otras palabras, limítalo a x ≥ 0 y luego podemos tener una inversa.
Entonces tenemos esta situación:
- x2 no tiene una inversa
- pero {x2 | x ≥ 0 } (que dice "x al cuadrado tal que x sea mayor o igual a cero" usando notación de conjuntos) sí tiene inversa.
¿No hay inversa?
Veamos gráficamente lo que está pasando aquí:
Para poder tener una inversa, necesitamos valores únicos.
Solo piensa ... si hay dos o más valores de x para un valor de y, ¿cómo sabemos cuál elegir al regresar?
Función general |
No tiene inversa |
Imagina que venimos de x1 a un valor particular de y, ¿a dónde volvemos? x1 o x2?
En ese caso, no podemos tener una inversa.
Pero si pudiéramos tener exactamente una x por cada y, podemos tener una
inversa.
Se llama "correspondencia uno a uno" o Biyectiva,
así
Función biyectiva |
Sí tiene inversa. |
Una función tiene que ser "Biyectiva" para tener una inversa.
Entonces, una función biyectiva sigue reglas más estrictas que una función general, lo que nos permite tener una inversa.
Dominio y rango
Entonces, ¿qué es toda esta charla sobre "Restricción del dominio"?
En su forma más simple, el dominio son todos los valores que entran en una función (y el rango son todos los valores que salen).
Tal como está, la función anterior no tiene inversa, porque algunos valores de y tendrán más de un valor de x.
Pero podríamos restringir el dominio para que haya una única x para cada y ...
Nota también lo siguiente:
- La función f(x) va del dominio al rango.
- La función inversa f-1(y) va del rango de regreso al dominio.
Grafiquemos a ambas en términos de x ... así que ahora es f-1(x), no f-1(y):
f(x) y f-1(x)
son como imágenes espejo
(volteadas sobre la diagonal).
En otras palabras:
La gráfica de f(x) y f-1(x) son simétricas respecto a la línea y=x
Ejemplo: Cuadrado y raíz cuadrada (continuación)
Primero, restringimos el dominio a x ≥ 0:
- {x2 | x ≥ 0 } "x al cuadrado de manera que x sea mayor o igual a cero"
- {√x | x ≥ 0 } "raíz cuadrada de x tal que x sea mayor o igual a cero"
Y puedes ver que son "imágenes espejo"
una de la otra sobre la diagonal y=x.
Nota: cuando restringimos el dominio a x ≤ 0 (menor o igual a 0) la inversa es entonces f-1(x) = −√x:
- {x2 | x ≤ 0 }
- {−√x | x ≥ 0 }
Las cuales también son inversas.
¡No siempre se puede!
A veces no es posible encontrar la inversa de una función.
Ejemplo: f(x) = x/2 + sin(x)
No podemos calcular la inversa de esto, porque no podemos resolver para "x":
y = x/2 + sin(x)
y ... ¿? = x
Notas sobre la notación
A pesar de que escribimos f-1(x), el "-1" no es un exponente (o potencia):
f-1(x) | ..es diferente de.. | f(x)-1 |
Inversa de la función f | f(x)-1 = 1/f(x) (el recíproco) |
Resumen
- La inversa de f(x) es f-1(y)
- Podemos encontrar una inversa invirtiendo el "diagrama de flujo"
- O podemos encontrar una inversa usando Álgebra:
- Pon "y" por "f(x)", y
- Resuelve para x
- Es posible que necesitemos restringir el dominio para que la función tenga una inversa
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).