Transformación de funciones

mueve y voltea Al igual que en las transformaciones en geometría, podemos mover y redimensionar las gráficas de funciones.

Comencemos con una función, en este caso es f(x) = x2, pero podría ser cualquier otra:

función cuadrada

f(x) = x2

Aquí hay algunas cosas simples que podemos hacer para moverla o escalarla en la gráfica:

Podemos moverla hacia arriba o hacia abajo sumando una constante al valor de y:

Translación

g(x) = x2 + C

Nota: para mover la curva hacia abajo, usamos un valor negativo para C.

 

Podemos moverla hacia la izquierda o hacia la derecha sumando una constante al valor de x:

Translación

g(x) = (x+C)2

Sumar C mueve la función hacia la izquierda (la dirección negativa).

¿Por qué? Bueno, imagina que heredarás una fortuna cuando tu edad=25. Si eso cambia a (edad+4)=25, lo obtendrás cuando tengas 21. Sumar 4 hizo que sucediera antes.


PERO debemos sumar C siempre que aparezca x en la función (estamos sustituyendo x+C por x).

Ejemplo: la función v(x) = x3 - x2 + 4x

Para mover C espacios a la izquierda, suma C en todos los lugares donde aparezca x:

w(x) = (x + C)3 − (x + C)2 + 4(x + C)

 

Una forma fácil de recordar lo que le sucede a la gráfica cuando agregamos una constante:

suma a y para mover hacia arriba
suma a x para mover a la izquierda

 

Podemos estirarla o comprimirla en la dirección y multiplicando toda la función por una constante.

Escalar

g(x) = 0.35(x2)

 

Podemos estirarla o comprimirla en la dirección x multiplicando x por una constante.

Escalar

g(x) = (2x)2

Ten en cuenta que (a diferencia de la dirección y), los valores más grandes provocan más compresión.

 

Podemos darle la vuelta multiplicando toda la función por −1:

Escalar

g(x) = −(x2)

Esto también se llama reflexión sobre el eje x (el eje donde y=0)

Podemos combinar un valor negativo con una escala:

Ejemplo: multiplicar por −2 la pondrá boca abajo Y la estirará en la dirección y.

 

Podemos voltearla de izquierda a derecha multiplicando el valor x por −1:

Escalar

g(x) = (−x)2

¡Realmente la voltea de izquierda a derecha! Pero no puedes verlo porque x2 es simétrica respecto al eje y. Así que aquí hay otro ejemplo usando √(x):

reflejo

g(x) = √(−x)

Esto también se llama reflexión sobre el eje y (el eje donde x=0)

Resumen

y = f(x) + C
  • C > 0 la mueve hacia arriba
  • C < 0 la mueve hacia abajo
y = f(x + C)
  • C > 0 la mueve hacia la izquierda
  • C < 0 la mueve hacia la derecha
y = Cf(x)
  • C > 1 la extiende/estira en la dirección y
  • 0 < C < 1 la comprime
y = f(Cx)
  • C > 1 la comprime en la dirección x
  • 0 < C < 1 la extiende/estira
y = −f(x)
  • La refleja sobre el eje x
y = f(−x)
  • La refleja sobre el eje y

 

Ejemplos

Ejemplo: la función g(x) = 1/x

Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:

Mover 2 espacios hacia arriba:h(x) = 1/x + 2
Mover 3 espacios hacia abajo:h(x) = 1/x − 3
Mover 4 espacios a la derecha:h(x) = 1/(x−4) gráfica
Mover 5 espacios a la izquierda:h(x) = 1/(x+5)
Estirar por 2 en la dirección y:h(x) = 2/x
Comprimir por 3 en dirección x:h(x) = 1/(3x)
Voltear de arriba a abajo:h(x) = −1/x

Ejemplo: la función v(x) = x3 − 4x

Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:

Mover 2 espacios hacia arriba:w(x) = x3 − 4x + 2
Mover 3 espacios hacia abajo:w(x) = x3 − 4x − 3
Mover 4 espacios a la derecha:w(x) = (x−4)3 − 4(x−4)
Mover 5 espacios a la izquierda:w(x) = (x+5)3 − 4(x+5)  gráfica
Estirar por 2 en la dirección y:w(x) = 2(x3 − 4x)
         = 2x3 − 8x
Comprimir por 3 en dirección x:w(x) = (3x)3 − 4(3x)
         = 27x3 − 12x
Voltear de arriba a abajo:w(x) = −x3 + 4x

¡Todo en uno!

Podemos hacer toda la transformación de una sola vez usando esto:

af( b(x + c) ) + d

a es estiramiento/compresión vertical

  • |a| > 1 estira
  • |a| < 1 comprime
  • a < 0 voltea de arriba a abajo

b es estiramiento/compresión horizontal

  • |b| > 1 comprime
  • |b| < 1 estira
  • b < 0 voltea de izquierda a derecha

c es desplazamiento horizontal

  • c < 0 desplaza a la derecha
  • c > 0 desplaza a la izquierda

d es desplazamiento vertical

  • d > 0 desplaza hacia arriba
  • d < 0 desplaza hacia abajo

 

Ejemplo: 2√(x+1)+1

a=2, c=1, d=1

Entonces toma la función raíz cuadrada, y luego
  • La/extiende estira en un factor de 2 en la dirección y
  • La desplaza a la izquierda 1 unidad, y
  • La desplaza hacia arriba 1 unidad

Juega con esta gráfica

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).