La Fórmula de Euler

(Hay otra "Fórmula de Euler" sobre números complejos,
esta página es sobre la que se usa en Geometría y Grafos)

La Fórmula de Euler

Para cualquier poliedro que no se intersecta a sí mismo, el

  • Número de Caras
  • más el Número de Vértices (esquinas)
  • menos el Número de Aristas

siempre es igual a 2

 

Esto se puede escribir así: C + V − A = 2


hexaedro

Usa la fórmula en el cubo:

Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas,

entonces:

6 + 8 − 12 = 2

Ejemplo con los sólidos platónicos

Probemos con los 5 sólidos platónicos:

Nombre   Caras Vértices Aristas C+V-A
Tetraedro Tetraedro 4 4 6 2
Cubo Cubo 6 8 12 2
Octaedro Octaedro 8 6 12 2
Dodecaedro Dodecaedro 12 20 30 2
Icosaedro Icosaedro 20 12 30 2

(De hecho, la Fórmula de Euler se puede utilizar para demostrar que solo hay 5 Sólidos Platónicos)

¿Por qué siempre 2?
Imagina tomar el cubo y agregar un borde
(de esquina a esquina de una cara).

Obtenemos una arista extra, más una cara extra:

7 + 8 − 13 = 2

cubo con arista extra
   

O intenta incluir otro vértice,
y obtenemos una arista extra:

6 + 913 = 2.

cubo con extra vértice
"No importa lo que hagamos, siempre terminamos con 2"
(Pero solo para este tipo de Poliedros ... ¡sigue leyendo!)
 

La esfera

esfera como icosaedro

Todos los sólidos platónicos (y muchos otros sólidos) son como una Esfera ... podemos remodelarlos para que se conviertan en una Esfera (mueve sus puntos de esquina, luego curva sus caras un poco).

Por esta razón sabemos que C + V − A = 2 para una esfera

(Ten cuidado, no podemos decir simplemente que una esfera tiene 1 cara y 0 vértices y aristas, porque C+V−A=1)

Entonces, el resultado es 2 nuevamente.

¡Pero no siempre es 2 ...!

Ahora que ves cómo funciona esto, descubramos cuando no funciona.

¿Y si unimos dos esquinas opuestas de un icosaedro?

Sigue siendo un icosaedro (pero ya no es convexo).

De hecho, se parece un poco a un tambor en el que alguien ha cosido la parte superior y la inferior.

Ahora, hay el mismo número de aristas y caras ... ¡pero un vértice menos!

Entonces:

C + V − A = 1

¡Oh no! No siempre la suma es 2.

La razón por la que no funcionó fue que esta nueva forma es básicamente diferente ... esa unión en el medio significa que dos vértices se reducen a 1.

La Característica de Euler

Entonces, C+V−A puede ser igual a 2, o 1, y tal vez a otros valores, por lo que la fórmula más general es

C + V − A = χ

Donde χ se conoce como "La Característica de Euler".

Aquí hay algunos ejemplos:

Forma   χ
Esfera esfera 2
Toro toro 0
Banda de Moebius banda de moebius 0

 

cubohemioctaedro

Y la característica de Euler también puede ser menor que cero.

Este es el "Cubohemioctaedro": Tiene 10 Caras (puede parecer más, pero algunas de las caras "internas" son en realidad una sola cara), 24 Aristas y 12 Vértices, entonces:

C + V − A = −2

De hecho, la Característica de Euler es una idea básica en Topología (el estudio de la naturaleza del Espacio).

Una taza y una dona

el toro se convierte en una taza
(Animación por cortesía del
usuario de Wikipedia:Kieff)

Por último, esta discusión estaría incompleta sin mostrar que una dona (rosquilla) y una taza de café son realmente lo mismo.

Bueno, se pueden deformar entre sí.

Decimos que los dos objetos son "homeomorfos" (del griego homoios = idéntico y morphe = forma)

Al igual que los sólidos platónicos son homeomorfos a la esfera.

Y tu cuerpo es homeomorfo a un toro si aprietas la nariz.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).