Fórmula de Euler para Números Complejos

(Hay otra "Fórmula de Euler" sobre Geometría,
esta página es sobre la fórmula usada en los Números Complejos)

Primero, puede que hayas visto la famosa "Identidad de Euler":

e^iπ + 1 = 0

Parece absolutamente mágico que una ecuación tan clara combine:

e (número de Euler)
i (la unidad de los números imaginarios)
π (el famoso número pi que aparece en muchas áreas interesantes)
1 (el primer número de conteo)
0 (cero)

¡Y también tiene las operaciones básicas de sumar, multiplicar y un exponente también!

Pero si deseas hacer un viaje interesante a través de las matemáticas, descubrirás cómo sucede.

¿Interesado? ¡Sigue leyendo!

Descubrimiento

Era alrededor de 1740, y los matemáticos estaban interesados en los números imaginarios.

Un número imaginario, cuando se eleva al cuadrado da un resultado negativo

número imaginario al cuadrado da negativo

Esto normalmente es imposible (intenta elevar al cuadrado cualquier número, recordando que negativo por negativo da positivo), ¡pero solo imagina que puedes hacerlo!

Y podemos tener este número especial (llamado i de imaginario):

i² = −1

Leonhard Euler

Así que Leonhard Euler se estaba divirtiendo un día, jugando con números imaginarios (¡o eso imagino!), y utilizó una conocida Serie de Taylor. (Lee sobre ellas, son fascinantes):

e^x = 1 + x + x²2! + x³3! + x⁴4! + x⁵5! + ...

Y puso la i en ella:

e^ix = 1 + ix + (ix)²2! + (ix)³3! + (ix)⁴4! + (ix)⁵5! + ...

Y dado que i² = −1, se simplifica a:

e^ix = 1 + ix − x²2! − ix³3! + x⁴4! + ix⁵5! − ...

Ahora agrupa todos los términos i al final:

e^ix = ( 1 − x²2! + x⁴4! − ... ) + i( x − x³3! + x⁵5! − ... )

Y aquí está el milagro ... los dos paréntesis son en realidad la Serie Taylor para cos y sen:

cos x = 1 − x²2! + x⁴4! − ...

sen x = x − x³3! + x⁵5! − ...

Y así se simplifica a:

e^ix = cos x + i sen x

¡Debe haber estado tan feliz cuando descubrió esto!

Y ahora se llama la fórmula de Euler.

Hagamos un intento:

Ejemplo: cuando x = 1.1

e^ix = cos x + i sen x

e^1.1i = cos 1.1 + i sen 1.1

e^1.1i = 0.45 + 0.89 i (a 2 decimales)

Nota: estamos usando radianes, no grados.

La respuesta es una combinación de un número real y un número imaginario, que juntos se llaman número complejo.

Podemos graficar uno de esos números en el plano complejo (los números reales van de izquierda a derecha, y los números imaginarios van de arriba abajo):

gráfica real imaginario 0.45 + 0.89i
Aquí te mostramos el número 0.45 + 0.89 i

Que es lo mismo que e^1.1i

¡Tracemos más!

gráfica real imaginario muchos valores de e^ix

¡Un círculo!

Sí, poner la Fórmula de Euler en esa gráfica produce un círculo:

e^ix = cos(x) + i sen(x) sobre el círculo
e^ix produce un círculo de radio 1

Y cuando incluimos un radio de r podemos poner cualquier punto (como 3 + 4i) en forma re^ix si encontramos los valores correctos de x y r:

Ejemplo: el número 3 + 4i

Para poner 3 + 4i en la forma re^ix necesitamos una conversión de Cartesianas a Polares:

r = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
x = tan^-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (a 3 decimales)

De modo que 3 + 4i también es 5e^{0.927
i}

3+4i = 5 en 0.927

Es otra forma

Básicamente es otra forma de tener un número complejo.

Esto resulta muy útil, ya que hay muchos casos (como la multiplicación) en los que es más fácil usar la forma re^ix en lugar de la forma a + bi.

Graficando e^iπ

Por último, cuando calculamos la fórmula de Euler para x = π obtenemos:

e^iπ = cos π + i sen π

e^iπ = −1 + i × 0 (porque cos π = −1 y sen π = 0)

e^iπ = −1

Y aquí está el punto creado por e^iπ(donde comenzó nuestra discusión):

e^ipi = -1 + i en el círculo

Y e^iπ = −1 puede reacomodarse así: