Serie de Taylor
Una serie de Taylor es una expansión de alguna función en una suma infinita de términos, donde cada término tiene un exponente más grande como x, x2, x3, etc.
Ejemplo: la serie de Taylor de ex
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + ...
(Nota: ! es la Función Factorial)
¿Realmente funciona? Vamos a intentarlo:
Ejemplo: ex para x=2
Bueno, ya sabemos que la respuesta es e2 = 2.71828... × 2.71828... = 7.389056...
Pero intentemos más y más términos de nuestra serie infinita:
Términos | Resultado | |
---|---|---|
1+2 | 3 | |
1+2+222! | 5 | |
1+2+222!+233! | 6.3333... | |
1+2+222!+233!+244! | 7 | |
1+2+222!+233!+244!+255! | 7.2666... | |
1+2+222!+233!+244!+255!+266! | 7.3555... | |
1+2+222!+233!+244!+255!+266!+277! | 7.3809... | |
1+2+222!+233!+244!+255!+266!+277!+288! | 7.3873... |
Comienza muy mal, ¡pero luego mejora y mejora!
Intenta usar "2^n/fact(n)" y n=0 hasta 20 en la Calculadora Sigma y observa tu resultado.
Aquí hay algunas series comunes de Taylor:
Expansión de la serie Taylor | Mediante Notación Sigma | |
ex = 1 + x + x22! + x33! + ... |
||
sen x = x − x33! + x55! − ... |
||
cos x = 1 − x22! + x44! − ... |
||
(Hay muchas más.)
Aproximaciones
Podemos usar los primeros términos de una serie de Taylor para obtener
un valor aproximado para una función.
Aquí mostramos mejores y mejores aproximaciones para cos (x). La
línea roja es cos (x), el azul es la aproximación.(Intenta
graficar tú mismo) :
1 − x2/2! | |
1 − x2/2! + x4/4! | |
1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! | |
1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + x8/8! |
También puedes ver la serie Taylor en acción en Fórmula de Euler para Números Complejos.
¿Qué es esta magia?
¿Cómo podemos convertir una función en una serie de términos de potencias como ésta?Bueno, no es realmente magia. Primero decimos que queremos tener esta expansión:
f(x) = c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + ...
Luego elegimos un valor "a" y calculamos los valores c0 , c1 , c2 , ... etc
Y se hace usando derivadas (por lo que debemos conocer la derivada de nuestra función)
Repaso rápido: una derivada nos da la pendiente de una función en cualquier punto.
Estas reglas de derivación básicas nos pueden ayudar:
- La derivada de una constante es 0
- La derivada de ax es a (ejemplo: la derivada de 2x es 2)
- La derivada de xn es nxn-1 (ejemplo: la derivada de x3 es 3x2)
Usaremos la marca ’ para indicar "derivada de".
De acuerdo, empecemos:
Para obtener c0, elige x = a para que todos los términos (x-a) se vuelvan cero, dejándonos con:
f(a) = c0
Por lo tanto, c0 = f(a)
Para obtener c1, calcula la derivada de f(x):
f’(x) = c1 + 2c2(x-a) + 3c3(x-a)2 + ...
Con x = a, todos los términos (x-a) se vuelven cero:
f’(a) = c1
Por lo tanto, c1 = f’(a)
Para obtener c2, calcula la derivada otra vez:
f’’(x) = 2c2 + 3×2×c3(x-a) + ...
Con x = a, todos los términos (x-a) se vuelven cero:
f’’(a) = 2c2
Por lo tanto, c2 = f’’(a)/2
De hecho, está surgiendo un patrón. Cada término es
- la siguiente derivada más alta ...
- ... dividida por todos los exponentes hasta ahora multiplicados (para lo cual podemos usar notación factorial, por ejemplo 3! = 3×2×1)
Y tenemos:
f(x) = f(a) + f'(a)1!(x-a) + f''(a) 2! (x-a)2 + f'''(a) 3! (x-a)3 + ...
Ahora tenemos una manera de encontrar nuestra propia serie Taylor:
Para cada término: calcula la siguiente derivada, divide por n! y multiplica por (x-a)n
Ejemplo: Serie de Taylor para cos(x)
Empieza con:
f(x) = f(a) + f'(a) 1! (x-a) + f''(a) 2! (x-a)2 + f'''(a) 3! (x-a)3 + ...
La derivada de cos es −sen,y la derivada de sen es cos, luego:
- f(x) = cos(x)
- f'(x) = −sen(x)
- f''(x) = −cos(x)
- f'''(x) = sen(x)
- etc...
Y tenemos:
cos(x) = cos(a) − sen(a) 1! (x-a) − cos(a) 2! (x-a)2 + sen(a) 3! (x-a)3 + ...
Ahora ponemos a=0, lo cual resulta muy cómodo porque cos(0)=1 y sen(0)=0:
cos(x) = 1 − 0 1! (x-0) − 1 2! (x-0)2 + 0 3! (x-0)3 + 1 4! (x-0)4 + ...
Simplifica:
cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! − ...
O pruébalo en otra función de tu elección.
La clave es conocer las derivadas de su función f(x).
Note: Una Serie de Maclaurin es una serie de Taylor donde a=0, por lo que todos los ejemplos que hemos estado utilizando hasta ahora también pueden llamarse series de Maclaurin.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).