Factorial !
Ejemplo: 4! es la abreviación de 4 × 3 × 2 × 1
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La función factorial (símbolo: !) indica la multiplicación de todos los números enteros desde un número dado, descendiendo hasta el número 1. Ejemplos:
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"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"
Calculando desde el valor anterior
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
En una tabla:
| n | n! | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | = 2 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
| 6 | etc. | etc. |
- Para calcular 6!, multiplica 120 por 6 para obtener 720
- Para calcular 7!, multiplica 120 por 7 para obtener 5040
- Y así sucesivamente
Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362,880?
10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362,880 = 3,628,800
Así que la regla es:
n! = n × (n−1)!
lo que significa:De modo que 10! = 10 × 9!, ... y 125! = 125 × 124!, etc.
Qué pasa con "0!"
El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero sigamos el patrón hacia atrás desde, digamos, 4!, así:
¡Y en muchas ecuaciones usar 0! = 1 simplemente tiene sentido!
Ejemplo: ¿De cuántas formas podemos ordenar las letras (sin repetirlas)?
- Para 1 letra "a" solo hay una 1 manera: a
- Para 2 letras "ab" hay 1×2=2 maneras: ab, ba
- Para 3 letras "abc" hay 1×2×3=6 maneras: abc acb cab bac bca cba
- Para 4 letras "abcd" hay 1×2×3×4=24 maneras: (¡Inténtalo tú mismo!)
- etc.
Ahora ... ¿de cuántas formas podemos arreglar cero letras? Solo de una manera, un espacio vacío:
Entonces 0! = 1
¿Dónde se usa el factorial?
Un área en la que se utilizan es en Combinaciones y permutaciones. Teníamos un ejemplo arriba, y aquí hay un ejemplo ligeramente diferente:
Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes pueden 7 personas llegar primero, segundo y tercero?
La lista es bastante larga, si las 7 personas se llaman a, b, c, d, e, f y g, entonces la lista incluye:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, ... etc.
La fórmula es 7!(7−3)! = 7!4!
Escribamos las multiplicaciones en su totalidad:
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5
Eso estuvo genial. La parte 4 × 3 × 2 × 1 se "canceló", dejando solamente 7 × 6 × 5. Y:
7 × 6 × 5 = 210
Así que hay 210 formas diferentes en las que 7 personas pueden llegar en primer, segundo y tercer lugar.¡Hecho!
Ejemplo: ¿Cuánto es 100! / 98! ?
Usando nuestro conocimiento del ejemplo anterior, podemos saltar directamente a esto:
100!98! = 100 × 99 = 9900
Los factoriales también tienen relevancia en la probabilidad y estadística, como por ejemplo al calcular probabilidades en la lotería.
Una pequeña lista
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 9 | 362,880 |
| 10 | 3,628,800 |
| 11 | 39,916,800 |
| 12 | 479,001,600 |
| 13 | 6,227,020,800 |
| 14 | 87,178,291,200 |
| 15 | 1,307,674,368,000 |
| 16 | 20,922,789,888,000 |
| 17 | 355,687,428,096,000 |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 |
| 19 | 121,645,100,408,832,000 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
| 21 | 51,090,942,171,709,440,000 |
| 22 | 1,124,000,727,777,607,680,000 |
| 23 | 25,852,016,738,884,976,640,000 |
| 24 | 620,448,401,733,239,439,360,000 |
| 25 | 15,511,210,043,330,985,984,000,000 |
¡Como ves, crecen muy rápido!
Si necesitas más, prueba la Calculadora de precisión.
Datos interesantes
Seis semanas tienen exactamente 10!
segundos (= 3,628,800)
He aquí el porqué:
| Segundos en 6 semanas | 60 × 60 × 24 × 7 × 6 | |
| Factoriza algunos números: | (2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6 | |
| Reacomoda: | 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10 | |
| Finalmente 3×3=9: | 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 |
Hay 52! formas de barajar un mazo de cartas.
Es decir 8.0658175... × 1067
Simplemente baraja un mazo de cartas y es probable que seas la primera persona en toda la historia con ese orden en particular.
Hay alrededor de 60! átomos en el Universo observable.
60! es aproximadamente 8.320987... × 1081 y las
estimaciones actuales están entre 1078 y 1082
átomos en el Universo observable.
70! es aproximadamente 1.197857... x 10100, que es un poco más grande que un Googol (el dígito 1 seguido de cien ceros).
100! es aproximadamente 9.3326215443944152681699238856 x 10157
200! es aproximadamente 7.8865786736479050355236321393 x 10374
Temas avanzados
¡Una Fórmula Aproximada!
El símbolo "≈" significa "aproximadamente igual a". Veamos qué tan buena es:
| n | n! | Fórmula Aproximada (a 2 Decimales) |
Precisión (a 4 Decimales) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0.92 | 0.9221 |
| 2 | 2 | 1.92 | 0.9595 |
| 3 | 6 | 5.84 | 0.9727 |
| 4 | 24 | 23.51 | 0.9794 |
| 5 | 120 | 118.02 | 0.9835 |
| 6 | 720 | 710.08 | 0.9862 |
| 7 | 5040 | 4980.40 | 0.9882 |
| 8 | 40320 | 39902.40 | 0.9896 |
| 9 | 362880 | 359536.87 | 0.9908 |
| 10 | 3628800 | 3598695.62 | 0.9917 |
| 11 | 39916800 | 39615625.05 | 0.9925 |
| 12 | 479001600 | 475687486.47 | 0.9931 |
Si no necesitas una precisión perfecta, esto puede ser útil.
Nota: se llama "Aproximación de Stirling" y se basa en una versión simplificada de la Función Gamma.
¿Qué hay de los negativos?
¿Podemos tener factoriales para números como −1, −2, etc?
No. Los factoriales enteros negativos no están definidos.
Empecemos con 3! = 3 × 2 × 1 = 6 y vamos hacia abajo:
| 2! | = | 3! / 3 | = | 6 / 3 | = | 2 | ||
| 1! | = | 2! / 2 | = | 2 / 2 | = | 1 | ||
| 0! | = | 1! / 1 | = | 1 / 1 | = | 1 | (la razón por la que 0!=1) | |
| (−1)! | = | 0! / 0 | = | 1 / 0 | = | Ups, dividir por cero no está definido. |
Y de aquí en adelante, todos los factoriales de números enteros están indefinidos.
¿Y los decimales?
¿Se puede calcular factoriales de 0.5 o −3.217?
¡Sí que se puede! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", un tema avanzado.
Y también pueden ser negativos (excepto los números enteros).
Factorial de un medio
Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi
Los factoriales de algunos "semienteros" son
| (−½)! | = | √π |
| (½)! | = | (½)√π |
| (3/2)! | = | (3/4)√π |
| (5/2)! | = | (15/8)√π |
Y todavía cumplen la regla de que "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo
(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!
¿Puedes averiguar cuánto es (7/2)!?
Factorial Doble!!
Un factorial doble es como un factorial normal pero saltamos cada segundo número:
- 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384
- 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945
Nótese que multiplicamos todos los números pares, o todos los impares.
Nota: si lo que queremos es aplicar el factorial dos veces, escribimos (n!)!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
