Teoremas Sobre Triángulos Semejantes
1. Teorema de Proporcionalidad de Tales
Si ADE es cualquier triángulo y BC se dibuja paralela a DE, entonces ABBD = ACCE
Para demostrar que esto es cierto, dibuja la línea BF paralela a AE para completar un paralelogramo BCEF:
Los triángulos ABC y BDF tienen exactamente los mismos ángulos y, por lo tanto, son semejantes (¿Por qué? Mira la sección llamada AA en la página Cómo Saber si Dos Triángulos Son Semejantes.)
- El lado AB corresponde al lado BD y el lado AC corresponde al lado BF.
- Por lo tanto, AB/BD = AC/BF
- Pero BF = CE
- Por lo tanto, AB/BD = AC/CE
Teorema de la Bisectriz
Si ABC es cualquier triángulo y AD biseca (corta a la mitad) el ángulo BAC, entonces ABBD = ACDC
Para demostrar que esto es cierto, podemos etiquetar el triángulo así:
- Ángulo BAD = Ángulo DAC = x°
- Ángulo ADB = y°
- Ángulo ADC = (180−y)°
Tanto ABBD como ACDC son iguales a sin(y)sin(x), por lo tanto:
ABBD = ACDC
En particular, si el triángulo ABC es isósceles, entonces los triángulos ABD y ACD son triángulos congruentes
Y el mismo resultado es cierto:
ABBD = ACDC
3. Área y similitud
Si dos triángulos semejantes tienen lados en la razón
x:y,
entonces sus áreas están en la proporción x2:y2
Ejemplo:
Estos dos triángulos son semejantes con lados en la proporción 2:1 (los lados de uno son el doble de largos que los del otro):
¿Qué podemos decir sobre sus áreas?
La respuesta es simple si solo dibujamos tres líneas más: Podemos ver que el triángulo pequeño encaja en el triángulo grande cuatro veces.
Por lo tanto, cuando las longitudes son el doble de largas, el área es cuatro veces más grande.
Por lo tanto, la proporción de sus áreas es 4:1
También podemos escribir 4:1 como 22:1
El caso general:
Los triángulos ABC y PQR son semejantes y tienen lados en la proporción x:y
Podemos encontrar las áreas usando esta fórmula para el Área de un Triángulo:
Área de ABC = 12bc sin(A)
Área de PQR = 12qr sin(P)
Y sabemos que las longitudes de los triángulos están en la proporción x:y
q/b = y/x, luego: q = by/x
y r/c = y/x, luego r = cy/x
Además, dado que los triángulos son semejantes, los ángulos A y P son iguales:
A = P
Ahora podemos hacer algunos cálculos:
Por lo tanto, terminamos con esta relación:
Área del Triángulo ABC : Área del Triángulo PQR = x2 : y2
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).