¿Es irracional?
Aquí veremos si una raíz cuadrada es irracional ... ¡o no!
Números racionales
Un número "racional" se puede escribir como una "proporción" o fracción.
Ejemplo: 1.5 es racional, porque se puede escribir como la razón 3/2
Ejemplo: 7 es racional, porque se puede escribir como la razón 7/1
Ejemplo 0.317 es racional, porque se puede escribir como la razón 317/1000
¡Pero algunos números no se pueden escribir como una fracción!
Se les llama irracionales (lo cual hace referencia que "no son racionales", no a que sean "locos").
La raíz cuadrada de 2
La raíz cuadrada de 2 es irracional. ¿Cómo puedo saberlo? Déjame explicar ...
Elevando al cuadrado un número racional
Primero, veamos qué sucede cuando elevamos al cuadrado un número racional:Si el número racional es a/b, entonces se convierte en a2/b2 al elevarlo al cuadrado.
Ejemplo:
(34)2 = 3242
Observa que el exponente es 2,
que es un número par.
Pero para hacer esto correctamente, realmente deberíamos desglosar los
números en sus factores
primos (cualquier número entero por encima de 1 es primo o se
puede hacer multiplicando números primos):
Ejemplo:
(34)2 = (32×2)2 = 3224
En algunos casos, es posible que necesitemos simplificar la fracción:
Ejemplo: (1690)2
Primeramente: 16 = 2×2×2×2 = 24, y 90 = 2×3×3×5 = 2×32×5
(1690)2 = (242×32×5)2
= (2332×5)2
= 2634×52
Entonces, podemos ver que cuando elevamos al cuadrado un número racional, el resultado se compone de números primos cuyos exponentes son todos pares.
Cuando elevamos al cuadrado un número racional, cada factor primo tiene un exponente par.
De regreso al 2
Ahora, veamos el número 2: ¿podría ser el resultado de elevar al cuadrado un número racional?
Como fracción, 2 es 2/1
Que es 21/11 ,¡y eso tiene exponentes impares!
¿Podemos deshacernos de exponentes impares?
Podríamos escribir 1 como 12 (por lo que tiene un exponente
par), y luego tenemos:
2 = 21/12
Pero todavía hay un exponente impar (en el 2).Podemos simplificar todo a 21, pero sigue siendo un exponente impar.
Incluso podríamos intentar cosas como 2 = 4/2 = 22/21 pero todavía no podemos deshacernos de un exponente impar.
Oh no, siempre hay un exponente impar.
¡Así que no se pudo haber hecho elevando al cuadrado un número racional!
En otras palabras, la raíz cuadrada de 2 es irracional.
Probemos con más números
¿Qué hay del 3?
3 es 3/1 = 31
Pero el 3 tiene un exponente de 1, por lo que 3 tampoco podría haberse hecho elevando al cuadrado un número racional.La raíz cuadrada de 3 es irracional.
¿Qué hay del 4?
4 es 4/1 = 22
¡Sí! ¡El exponente es un número par! Entonces 4 se puede hacer elevando al cuadrado un número racional.La raíz cuadrada de 4 es racional
Esta idea también se puede extender a raíces cúbicas, etc.
Conclusión
Para saber si la raíz cuadrada de un número es irracional o no, verifica si todos sus factores primos tienen exponentes pares.También nos muestra que debe haber números irracionales (como la raíz cuadrada de dos) ... ¡en caso de que alguna vez lo hayamos puesto en duda!
