¿Es pi normal?

Un número simplemente normal tiene todos sus dígitos distribuidos como si cada uno se eligiera lanzando un dado.

Un dado puede tener 10 caras.

Y obtenemos algo como esto:

¿Es este el caso de Pi ?

Para investigar, contemos cuántos de cada dígito hay y veamos si aparecen con más o menos frecuencia de lo esperado.

También necesitamos hacer esto para pares de 2 dígitos, grupos de 3 dígitos, etc.

¡Vamos a intentarlo!

Cien dígitos

Aquí están los primeros 100 dígitos de Pi:

Con 100 dígitos y diez posibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) deberíamos obtener 10 de cada dígito, ¿verdad?

Bueno, cuento 8 "0"s, ¿te parece correcto?

Por supuesto, esperar un 10 perfecto de cada dígito no es realista, por lo que tal vez solo 8 esté bien.

Aquí está el recuento de cada dígito:

En su mayoría son alrededor de 10, pero ¡guau! ¡El "9" apareció 13 veces!

¿Debería esperarse eso? Analicemos las cuentas:

• 4 dígitos (0,1,5 y 7) aparecen 8 veces,
• 1 dígito (6) aparece 9 veces,
• 1 dígito (4) aparece 10 veces,
• 3 dígitos (2,3 y 8) aparecen 12 veces y
• 1 dígitos (9) aparece 13 veces

Como gráfica:

Son cerca de 10, pero también un poco dispersos... ¿es esto "normal"?

Probemos con pares de dos dígitos:

Principalmente 0 y 1. ¡Necesitamos más datos sin procesar!

Mil Dígitos

Usando los primeros mil dígitos de Pi obtenemos esto:

Analizando las cuentas:

Alejando la gráfica:

Ahora parece más agrupado alrededor de 100, nuestro primer indicio de que Pi podría ser "normal".

Veamos pares de dos dígitos:

Bien, estamos obteniendo valores alrededor de 10, pero veamos el conteo de conteos:

¡Vamos por más datos!

Diez mil dígitos

Usando los primeros diez mil dígitos de Pi obtenemos esto:

Y el análisis de los conteos:

Y el análisis de los conteos:

Está empezando a parecerse a una distribución normal, ¿no crees?

Cien Mil Dígitos

Usando los primeros cien mil dígitos de Pi obtenemos esto:

Y el análisis de los conteos:

Y el análisis de los conteos:

Todos los números rondan el 1000 y, usando la calculadora de desviación estándar obtiene una desviación estándar de sólo 32.3, que es una agrupación razonablemente ajustada, ¿no crees?

Resumen

Solo mirando un solo dígito:

A simple vista podemos ver que cuantos más dígitos usamos, más tienden a agruparse los recuentos alrededor del valor esperado.

Esto se llama la "Ley de los Grandes Números": a largo plazo, los eventos aleatorios tienden a promediar el valor esperado.

Vemos lo mismo con pares de dos dígitos.

Entonces esto aumenta nuestra confianza en que Pi es un número normal.

Conclusión

Por lo tanto, parece que los pares de un solo dígito y de dos dígitos no ocurren con más frecuencia que el azar. Al menos dentro de los primeros 100,000 dígitos.

Pero necesitamos verificar más dígitos y también grupos de 3 dígitos, 4 dígitos, etc. Un trabajo muy grande.

Investigación

Las personas con acceso a computadoras poderosas han verificado billones de dígitos de Pi:

(Enlace externo en inglés) Estadísticas de los primeros 22.4 billones de decimales de Pi

Y tampoco han encontrado motivos para dudar de que Pi sea un número normal. No es una prueba, sólo una sospecha muy fuerte de que Pi es normal.

¿Por qué es esto importante?

En primer lugar, ¿no es curioso que los dígitos de Pi (que forman una secuencia exacta) parezcan estar distribuidos aleatoriamente?

Pero la otra implicación alucinante es que un número infinito de dígitos que ocurren aleatoriamente contendrá cada secuencia finita de dígitos, incluyendo:

• tu número PIN
• tu número de teléfono
• tu fecha de nacimiento
• Los números ganadores de la lotería de la próxima semana.

Y simplemente convirtiendo texto a dígitos (como hola = 8 5 12 12 15), los dígitos de Pi también incluirán:

• tu nombre
• tu dirección
• todos tus mensajes de texto
• cualquier libro que puedas imaginar.
• ¿y quizás el secreto de la vida?

Ahora bien, si también pudiéramos obtener un índice de dónde están esas cosas...