Ecuaciones del Círculo
Es fácil hacer un círculo:
Dibuja una curva que esté a un "radio" de distancia
de un punto central.
De modo que:
Todos los puntos están a la misma distancia
del centro.
De hecho la definición de un círculo es
Círculo: El conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un centro.
El Círculo en una Gráfica
Pongamos un círculo de radio 5 en una gráfica:
Ahora veamos exactamente dónde están todos los puntos.
Hacemos un triángulo rectángulo:
Y luego usamos Pitágoras:
x2 + y2 = 52
Hay un número infinito de esos puntos, aquí hay algunos ejemplos:
| x | y | x2 + y2 |
|---|---|---|
| 5 | 0 | 52 + 02 = 25 + 0 = 25 |
| 3 | 4 | 32 + 42 = 9 + 16 = 25 |
| 0 | 5 | 02 + 52 = 0 + 25 = 25 |
| −4 | −3 | (−4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25 |
| 0 | −5 | 02 + (−5)2 = 0 + 25 = 25 |
En todos los casos, un punto en el círculo sigue la regla x2 + y2 = radio2
Podemos usar esa idea para encontrar un valor faltante.
Ejemplo: valor de x igual a 2, y un radio de 5
(El ± significa que hay dos posibles valores: uno con + y el otro con −)
Y aquí están los dos puntos:
Un Caso Más General
Ahora pongamos el centro en (a,b)
Entonces el círculo son todos los puntos (x,y) que están a "r" de distancia del centro (a,b).
Ahora calculemos dónde están los puntos (usando un triángulo rectángulo y Pitágoras):
Es la misma idea que antes, pero necesitamos restar a y b:
(x−a)2 + (y−b)2 = r2
¡Y esa es la "Forma Estándar" para la ecuación de un círculo!
Muestra toda la información importante de un vistazo: el centro (a,b) y el radio r.
Ejemplo: Un círculo con centro en (3,4) y un radio de 6:
Comienza con:
(x−a)2 + (y−b)2 = r2
Sustituye (a,b) y r:
(x−3)2 + (y−4)2 = 62
Luego podemos usar nuestras habilidades de álgebra para simplificar y reorganizar esa ecuación, dependiendo de para qué la necesitemos.
Pruébalo Tú Mismo
"Forma General"
¡Pero puedes ver la ecuación de un círculo y no saberlo!
Porque puede no estar en la ordenada "Forma Estándar" de arriba.
Como ejemplo, pongamos algunos valores a a, b y r y luego desarrollemos:
Y terminamos con esto:
x2 + y2 − 2x − 4y − 4 = 0
Es la ecuación de un círculo, ¡pero "disfrazada"!
Así que cuando veas algo así, piensa "hmm ... ¡eso podría ser un círculo!"
De hecho, podemos escribirlo en "Forma General" poniendo constantes en lugar de los números:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Nota: La Forma General siempre tiene x2 + y2 como sus dos primeros términos.
Pasar de la Forma General a la Forma Estándar
Ahora imagina que tenemos una ecuación en Forma General:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
¿Cómo podemos llevarla a la Forma Estándar como esta?
(x−a)2 + (y−b)2 = r2
La respuesta es Completar el Cuadrado (lee sobre eso) dos veces... una para x y otra para y:
Ejemplo: x2 + y2 − 2x − 4y − 4 = 0
Ahora completa el cuadrado para x (toma la mitad de −2, elévala al cuadrado y súmala a ambos lados):
(x2 − 2x + (−1)2) + (y2 − 4y) = 4 + (−1)2
Y completa el cuadrado para y (toma la mitad de −4, elévala al cuadrado y súmala a ambos lados):
(x2 − 2x + (−1)2) + (y2 − 4y + (−2)2) = 4 + (−1)2 + (−2)2
Simplifica:
¡Y ya la tenemos en Forma Estándar!
(Nota: esto utilizó el ejemplo de a=1, b=2, r=3 de antes, ¡así que lo hicimos bien!)
Círculo Unitario
Si colocamos el centro del círculo en (0,0) y establecemos el radio en 1 obtenemos:
 |
(x−a)2 + (y−b)2 = r2 (x−0)2 + (y−0)2 = 12 x2 + y2 = 1 Que es la ecuación del Círculo Unitario |
Cómo Dibujar un Círculo a Mano
1. Ubica el centro (a,b)
2. Marca 4 puntos a un "radio" de distancia del centro en las direcciones hacia arriba, abajo, izquierda y derecha
3. ¡Traza la curva!
Ejemplo: Graficar (x−4)2 + (y−2)2 = 25
La fórmula para un círculo es (x−a)2 + (y−b)2 = r2
Así que el centro está en (4,2)
Y r2 es 25, por lo que el radio es √25 = 5
Así que podemos marcar:
- El centro: (4,2)
- Arriba: (4,2+5) = (4,7)
- Abajo: (4,2−5) = (4,−3)
- Izquierda: (4−5,2) = (−1,2)
- Derecha: (4+5,2) = (9,2)
Ahora, ¡solo dibuja el círculo lo mejor que puedas!
Cómo Graficar un Círculo en la Computadora
Necesitamos reorganizar la fórmula para obtener "y=".
Deberíamos terminar con dos ecuaciones (parte superior e inferior del círculo) que luego se pueden graficar.
Ejemplo: Graficar (x−4)2 + (y−2)2 = 25
El centro está en (4,2), y el radio es √25 = 5
Reorganiza para obtener "y=":
¡puede haber dos raíces cuadradas!) Mueve el "−2" a la derecha:y = 2 ± √[25 − (x−4)2]
Entonces, cuando grafiquemos estas dos ecuaciones deberíamos obtener un círculo:
- y = 2 + √[25 − (x−4)2]
- y = 2 − √[25 − (x−4)2]
Prueba graficando esas funciones en el Graficador de Funciones.
También es posible usar el Graficador de Ecuaciones para hacerlo todo en un solo paso.