Fórmula de Euler para Números Complejos

(Hay otra "Fórmula de Euler" en Geometría,
aquí veremos la que se usa en los Números Complejos)

Puede que hayas visto la famosa "Identidad de Euler":

e^iπ + 1 = 0

Parece absolutamente mágico que una ecuación tan clara combine:

e (el Número de Euler)
i (la unidad de los números imaginarios)
π (el famoso número pi que aparece en tantas áreas interesantes)
1 (el primer número de conteo)
0 (cero)

¡Y también contiene las operaciones básicas de sumar, multiplicar y un exponente!

Pero si quieres hacer un viaje interesante a través de las matemáticas, descubrirás cómo se obtiene.

¿Te interesa? ¡Sigue leyendo!

Descubrimiento

Era alrededor de 1740, y los matemáticos estaban interesados en los números imaginarios.

Un número imaginario, cuando se eleva al cuadrado, da un resultado negativo:

Normalmente esto es imposible (intenta elevar al cuadrado unos cuantos números, recordando que multiplicar negativos da positivo, y mira a ver si puedes obtener un resultado negativo).

Pero solo imagina que tenemos un número llamado i (de imaginario) que puede hacer esto:

i² = −1

Retrato del matemático Leonhard Euler

Leonhard Euler se estaba divirtiendo un día, jugando con números imaginarios (¡o eso imagino!), y tomó esta bien conocida Serie de Taylor (aprende sobre ellas, son fascinantes):

e^x = 1 + x + x²2! + x³3! + x⁴4! + x⁵5! + ...

Y puso i en ella:

e^ix = 1 + ix + (ix)²2! + (ix)³3! + (ix)⁴4! + (ix)⁵5! + ...

Y dado que i² = −1, se simplifica a:

e^ix = 1 + ix − x²2! − ix³3! + x⁴4! + ix⁵5! − ...

Ahora agrupa todos los términos con i al final:

e^ix = ( 1 − x²2! + x⁴4! − ... ) + i( x − x³3! + x⁵5! − ... )

Y aquí está el milagro ... los dos grupos son en realidad las series de Taylor para cos y sen:

cos x = 1 − x²2! + x⁴4! − ...

sen x = x − x³3! + x⁵5! − ...

Y así se simplifica a:

e^ix = cos x + i sen x

¡Debe haber estado tan feliz cuando descubrió esto!

Y ahora se llama la Fórmula de Euler.

Hagamos la prueba:

Ejemplo: cuando x = 1.1

e^ix = cos x + i sen x

e^1.1i = cos 1.1 + i sen 1.1

e^1.1i = 0.45 + 0.89 i (a 2 decimales)

Nota: estamos usando radianes, no grados.

La respuesta es una combinación de un número real y un número imaginario, que juntos se llaman Número Complejo.

Podemos graficar tal número en el plano complejo (los números reales van de izquierda a derecha, y los números imaginarios van de abajo hacia arriba):

Punto 0.45 más 0.89i graficado en el plano complejo con ejes real e imaginario
Aquí mostramos el número 0.45 + 0.89 i

Que es lo mismo que e^1.1i

¡Grafiquemos algunos más!

Gráfica de muchos valores de e^ix en ejes real e imaginario

¡Un círculo!

De hecho, representar la fórmula de Euler en esa gráfica produce un círculo:

Círculo unitario en el plano complejo mostrando el ángulo x, componente horizontal cos x y componente vertical i sen x
e^ix produce un círculo de radio 1

Y cuando incluimos un radio de r podemos transformar cualquier punto (como 3 + 4i) a la forma re^ix hallando el valor correcto de x y r:

Ejemplo: el número 3 + 4i

Para poner 3 + 4i en la forma re^ix hacemos una conversión de Cartesianas a Polares:

r = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
x = tan^-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (a 3 decimales)

Así que 3 + 4i también puede ser 5e^{0.927 i}

Vector para 3 más 4i en el plano complejo con longitud 5 y ángulo 0.927 radianes

Es simplemente otra forma

Es otra forma de expresar un número complejo.

Esto resulta ser muy útil, ya que hay muchos casos (como la multiplicación) donde es más fácil usar la forma re^ix en lugar de la forma a+bi.

Graficar e^iπ

Por último, cuando calculamos la Fórmula de Euler para x = π obtenemos:

e^iπ = cos π + i sen π

e^iπ = −1 + i × 0 (porque cos π = −1 y sen π = 0)

e^iπ = −1

Y aquí está el punto creado por e^iπ (donde comenzó nuestra discusión):

e^ipi = -1 + i en el círculo

Y e^iπ = −1 se puede reordenar en:

e^iπ + 1 = 0

La famosa Identidad de Euler.

Nota al pie: de hecho, todas estas son ciertas: