Cómo multiplicar matrices
Una matriz es un arreglo de números:
Una matriz
(Esta tiene 2 filas y 3 columnas)
Para multiplicar una matriz por un solo número, multiplícalo por cada elemento de la matriz:
| 2×4=8 | 2×0=0 |
| 2×1=2 | 2×-9=-18 |
Llamamos al número (2 en este caso) un escalar: un solo número usado para escalar (↕) los valores en la matriz. Y a esto se le llama "multiplicación escalar".
Multiplicar una matriz por otra matriz
Pero para multiplicar una matriz por otra matriz necesitamos hacer el producto punto de filas y columnas ... ¿qué significa eso? Veamos con un ejemplo:
Para calcular la respuesta para la 1.ª fila y la 1.ª columna:
El producto punto es donde multiplicamos los miembros correspondientes, luego sumamos:
Emparejamos los primeros miembros (1 y 7), los multiplicamos, del mismo modo para los segundos miembros (2 y 9) y los terceros miembros (3 y 11), y finalmente los sumamos.
¿Quieres ver otro ejemplo? Aquí está para la 1.ª fila y la 2.ª columna:
Podemos hacer lo mismo para la 2.ª fila y la 1.ª columna:
Y para la 2.ª fila y la 2.ª columna:
Y obtenemos:
¡LISTO!
¿Por qué hacerlo de esta manera?
Esto puede parecer una forma extraña y complicada de multiplicar, ¡pero es necesario!
Puedo mostrarte un ejemplo de la vida real para ilustrar por qué multiplicamos matrices de esta manera.
Ejemplo: La tienda local vende 3 tipos de tartas.
- Las tartas de manzana cuestan $3 cada una
- Las tartas de cereza cuestan $4 cada una
- Las tartas de arándano cuestan $2 cada una
Y esta es la cantidad que vendieron en 4 días:
Ahora piensa en esto ... el valor de las ventas para el lunes se calcula de esta manera:
Así que es, de hecho, el "producto punto" de los precios y las cantidades vendidas:
($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = $3×13 + $4×8 + $2×6
= $83
Emparejamos el precio con la cantidad vendida, multiplicamos cada uno y luego sumamos el resultado.
En otras palabras:
- Las ventas del lunes fueron: tartas de manzana: $3×13=$39, tartas de cereza: $4×8=$32, y tartas de arándano: $2×6=$12. En conjunto eso es $39 + $32 + $12 = $83
- Y para el martes: $3×9 + $4×7 + $2×4 = $63
- Y para el miércoles: $3×7 + $4×4 + $2×0 = $37
- Y para el jueves: $3×15 + $4×6 + $2×3 = $75
Por lo tanto, es importante hacer coincidir cada precio con cada cantidad.
Ahora ya sabes por qué usamos el "producto punto".
Y aquí está el resultado completo en forma de matriz:
Vendieron $83 en tartas el lunes, $63 el martes, y así sucesivamente.
Prueba esos valores en la Calculadora de matrices para ver si funcionan.
De hecho, ¡pruébala y mira cómo funciona todo!
Filas y columnas
Para mostrar cuántas filas y columnas tiene una matriz, a menudo escribimos filas×columnas.
Ejemplo: Esta matriz es de 2×3 (2 filas por 3 columnas):
Cuando hacemos una multiplicación:
- El número de columnas de la 1.ª matriz debe ser igual al número de filas de la 2.ª matriz
- Y el resultado tendrá el mismo número de filas que la 1.ª matriz, y el mismo número de columnas que la 2.ª matriz
Ejemplo anterior:
En ese ejemplo multiplicamos una matriz de 1×3 por una matriz de 3×4 (observa que los 3 son iguales), y el resultado fue una matriz de 1×4.
En general:
Para multiplicar una matriz de m×n por una matriz de n×p, las n deben ser iguales,
y el resultado es una matriz de m×p.
Así que ... multiplicar una matriz de 1×3 por una de 3×1 da un resultado de 1×1:
Pero multiplicar una matriz de 3×1 por una de 1×3 da un resultado de 3×3:
Matriz identidad
La "Matriz identidad" es el equivalente matricial del número "1":
Una matriz identidad de 3×3
- Es "cuadrada" (tiene el mismo número de filas que de columnas)
- Puede ser grande o pequeña (2×2, 100×100, ... lo que sea)
- Tiene 1s en la diagonal principal y 0s en todos los demás lugares
- Su símbolo es la letra mayúscula I
Es una matriz especial, porque cuando multiplicamos por ella, la original no cambia:
A × I = A
I × A = A
Orden de multiplicación
En aritmética estamos acostumbrados a:
3 × 5 = 5 × 3
(La Ley conmutativa de la multiplicación)
Pero esto no es generalmente cierto para las matrices (la multiplicación de matrices no es conmutativa):
AB ≠ BA
Cuando cambiamos el orden de multiplicación, la respuesta es (generalmente) diferente.
Ejemplo:
Mira cómo cambiar el orden afecta esta multiplicación:
¡Las respuestas son diferentes!
Puede dar el mismo resultado (como cuando una matriz es la Matriz Identidad), pero generalmente no.