Cómo Multiplicar Matrices
Una matriz es un arreglo de números:
Una matriz
(Esta tiene 2 filas y 3 columnas)
Multiplicar una matriz por un solo número es fácil:
| 2×4=8 | 2×0=0 |
| 2×1=2 | 2×-9=-18 |
Llamamos al número ("2" en este caso) un escalar, un número usado para hacer una escala (↕) a los valores de una matriz. A esto se le conoce como "multiplicación escalar".
Multiplicar una matriz por otra matriz
Pero para multiplicar una matriz por otra matriz
necesitamos hacer el "producto
punto" de filas y columnas ... ¿qué significa eso? Veamos con un
ejemplo:
Para hallar la respuesta para la 1era fila y 1era columna:
El "Producto Punto" es cuando multiplicamos los miembros coincidentes, luego sumamos:
(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 +
3×11
= 58
Emparejamos los primeros miembros (1 y 7), los multiplicamos, del mismo modo para los segundos miembros (2 y 9) y los terceros miembros (3 y 11), y finalmente los sumamos.
¿Quieres ver otro ejemplo? Aquí está para la 1era fila y la 2da columna:
(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 +
3×12
= 64
Podemos hacer lo mismo para la 2da fila y la 1era columna:
(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 +
6×11
= 139
Y para la 2da fila y la 2da columna:
(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 +
6×12
= 154
Y obtenemos:
¡LISTO!
¿Por qué hacerlo de esta manera?
Esto puede parecer una forma extraña y complicada de multiplicar, ¡pero es necesario!Puedo mostrarte un ejemplo de la vida real para ilustrar por qué multiplicamos las matrices de esta manera.
Ejemplo: La tienda local vende 3 tipos de tartas.
- Cada tarta de manzana cuesta $3
- Cada tarta de cereza cuesta $4
- Cada tarta de mora azul cuesta $2
Y así es como se vendieron en 4 días:
Ahora piensa en esto ... el valor de las ventas para el lunes se calcula de esta manera:
De hecho, es el "producto punto" de los precios y las cantidades que se vendieron:
($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = $3×13 + $4×8 + $2×6
= $83
Emparejamos el precio con la cantidad vendida, multiplicamos cada uno y luego sumamos el resultado.
En otras palabras:
- Las ventas del lunes fueron: tartas de manzana: $3×13=$39, tartas de cereza: $4×8=$32, y tartas de mora azul: $2×6=$12. En conjunto eso es $39 + $32 + $12 = $83
- Y para el martes: $3×9 + $4×7 + $2×4 = $63
- Y para el miércoles: $3×7 + $4×4 + $2×0 = $37
- Y para el jueves: $3×15 + $4×6 + $2×3 = $75
Por lo tanto, es importante hacer coincidir cada precio con cada cantidad.
Ahora ya sabes porqué usamos el "producto punto".
Y aquí está el resultado completo en forma de matriz:
(Puedes poner esos valores en la Calculadora de Matrices para ver si son correctos.)
Filas y columnas
Para mostrar cuántas filas y columnas tiene una matriz, a menudo escribimos filas×columnas.
Ejemplo: Esta matriz es de 2×3 (2 filas por 3 columnas):
- El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
- Y el resultado tendrá el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.
Ejemplo:
En ese ejemplo, multiplicamos una matriz de 1×3 por una matriz de 3×4 (ten en cuenta que los 3 son iguales), y el resultado fue una matriz de 1×4.
En general:
Para multiplicar una matriz m×n por una
matriz n×p, los valores de n deben coincidir,
y el resultado será una matriz m×p.
Así que....al multiplicar una matriz 1×3 por una matriz 3×1 nos da una matriz 1×1 como resultado:
Pero multiplicar una 3×1 por una 1×3 nos da como resultado una 3×3:
Matriz identidad
La "Matriz identidad" es el equivalente matricial del número "1":
Una matriz identidad de 3×3
- Es cuadrada (el mismo número de filas que columnas)
- Puede ser grande o pequeña (2×2, 100×100, ... lo que sea)
- Tiene 1s en su diagonal principal y 0s en cualquier otro lado
- Su símbolo es la letra mayúscula I
Es una matriz especial, porque cuando multiplicamos por ella, la original no cambia:
A × I = A
I × A = A
Orden de multiplicación
En aritmética estamos acostumbrados a:
3 × 5 = 5 × 3
(La Ley
Conmutativa de la multiplicación)
Pero esto no es generalmente cierto para las matrices (la multiplicación de matrices no es conmutativa):
AB ≠ BA
Cuando cambiamos el orden de multiplicación, la respuesta es (generalmente) diferente.
Ejemplo:
Vea cómo cambiar el orden afecta esta multiplicación:
¡Las respuestas son diferentes!
Puede dar el mismo resultado (como cuando una matriz es la Matriz Identidad) pero generalmente no.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
