Cómo Multiplicar Matrices
Una matriz es un arreglo de números:
Una matriz
(Ésta tiene 2 filas y 3 columnas)
Multiplicar una matriz por un solo número es fácil:
| 2×4=8 | 2×0=0 |
| 2×1=2 | 2×-9=-18 |
Llamamos al número ("2" en este caso) un escalar, por lo que esto se llama "multiplicación escalar".
Multiplicar una matriz por otra matriz
Pero para multiplicar una matriz por otra matriz
necesitamos hacer el "producto
punto" de filas y columnas ... ¿qué significa eso? Veamos con un
ejemplo:
Para hallar la respuesta para la 1era fila y 1era columna:
El "Producto Punto" es cuando multiplicamos los miembros coincidentes, luego sumamos:
(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 +
3×11
= 58
Emparejamos los primeros miembros (1 y 7), los multiplicamos, del mismo modo para los segundos miembros (2 y 9) y los terceros miembros (3 y 11), y finalmente los sumamos.
¿Quieres ver otro ejemplo? Aquí está para la 1era fila y la 2da columna:
(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 +
3×12
= 64
Podemos hacer lo mismo para la 2da fila y la 1era columna:
(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11
= 139
Y para la 2da fila y la 2da columna:
(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 +
6×12
= 154
Y obtenemos:
¡LISTO!
¿Por qué hacerlo de esta manera?
Esto puede parecer una forma extraña y complicada de multiplicar, ¡pero es necesario!Puedo mostrarte un ejemplo de la vida real para ilustrar por qué multiplicamos las matrices de esta manera.
Ejemplo: La tienda local vende 3 tipos de tartas.
- Cada tarta de manzana cuesta $3
- Cada tarta de cereza cuesta $4
- Cada tarta de mora azul cuesta $2
Y así es como se vendieron en 4 días:
Ahora piensa en esto ... el valor de las ventas para el lunes se calcula de esta manera:
De hecho, es el "producto punto" de los precios y las cantidades que se vendieron:
($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = $3×13
+ $4×8 + $2×6
= $83
Emparejamos el precio con la cantidad vendida, multiplicamos cada uno y luego sumamos el resultado.
En otras palabras:
- Las ventas del lunes fueron: tartas de manzana: $3×13=$39, tartas de cereza: $4×8=$32, y tartas de mora azul: $2×6=$12. En conjunto eso es $39 + $32 + $12 = $83
- Y para el martes: $3×9 + $4×7 + $2×4 = $63
- Y para el miércoles: $3×7 + $4×4 + $2×0 = $37
- Y para el jueves: $3×15 + $4×6 + $2×3 = $75
Por lo tanto, es importante hacer coincidir cada precio con cada cantidad.
Ahora ya sabes porqué usamos el "producto punto".
Y aquí está el resultado completo en forma de matriz:
(Puedes poner esos valores en la Calculadora de Matrices para ver si son correctos.)
Filas y columnas
Para mostrar cuántas filas y columnas tiene una matriz, a menudo escribimos filas×columnas.
Ejemplo: Esta matriz es de 2×3 (2 filas por 3 columnas):
- El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
- Y el resultado tendrá el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.
Ejemplo:
En ese ejemplo, multiplicamos una matriz de 1×3 por una matriz de 3×4 (ten en cuenta que los 3 son iguales), y el resultado fue una matriz de 1×4.
En general:
Para multiplicar una matriz m×n
por una matriz n×p, los valores de
n deben coincidir,
y el resultado será una matriz m×p.
Así que....al multiplicar una matriz 1×3 por una matriz 3×1 nos da una matriz 1×1 como resultado:
Pero multiplicar una 3×1 por una 1×3 nos da como resultado una 3×3:
Matriz identidad
La "Matriz identidad" es el equivalente matricial del número "1":
Una matriz identidad de 3×3
- Es cuadrada (el mismo número de filas que columnas)
- Puede ser grande o pequeña (2×2, 100×100, ... lo que sea)
- Tiene 1s en su diagonal principal y 0s en cualquier otro lado
- Su símbolo es la letra mayúscula I
Es una matriz especial, porque cuando multiplicamos por ella, la original no cambia:
A × I = A
I × A = A
Orden de multiplicación
En aritmética estamos acostumbrados a:
3 × 5 = 5 × 3
(La Ley
Conmutativa de la multiplicación)
Pero esto no es generalmente cierto para las matrices (la multiplicación de matrices no es conmutativa):
AB ≠ BA
Cuando cambiamos el orden de multiplicación, la respuesta es (generalmente) diferente.
Ejemplo:
Vea cómo cambiar el orden afecta esta multiplicación:
¡Las respuestas son diferentes!
Puede dar el mismo resultado (como cuando una matriz es la Matriz Identidad) pero generalmente no.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
