Matriz Inversa usando Operaciones Elementales entre Filas
También se llama método Gauss-Jordan.
Esta es una forma divertida de encontrar la inversa de una matriz:
Las "Operaciones Elementales de Fila" son cosas simples como sumar filas, multiplicar e intercambiar ... pero veamos con un ejemplo:
Ejemplo: encuentra la inversa de "A":
Empezamos con la matriz A, y la escribimos con una Matriz Identidad I justo al lado:
(Esto se llama la "matriz aumentada")
Matriz identidad
La "Matriz de identidad" es el equivalente matricial del número "1":
Una matriz identidad de 3x3
- Es "cuadrada" (tiene el mismo número de filas que columnas),
- Tiene 1s en su diagonal y 0s en todos las demás entradas.
- Su símbolo es la letra mayúscula I.
Ahora hacemos todo lo posible para convertir "A" (la matriz de la
izquierda) en una matriz identidad. El objetivo es hacer que la Matriz
A tenga 1s en diagonal y 0s en cualquier otra parte (una Matriz
Identidad) ... y el lado derecho nos acompaña para el viaje,
realizando también de este lado todas las operaciones.
Pero solo podemos hacer estas "Operaciones Elementales de Fila":
- intercambiar filas
- multiplicar o dividir cada elemento en una fila por una constante
- reemplazar una fila sumando o restando un múltiplo de otra fila
Y debemos hacerlo a toda la fila, así:
Empieza con A y al lado I
Suma la fila 2 y la fila 1,
luego divide la fila 1 por 5,
Luego toma 2 veces la primera fila y reste de la segunda fila,
Multiplica la segunda fila por -1/2,
Ahora intercambia la segunda y tercera fila,
¡Y hemos terminado!
La matriz A se ha convertido en
una Matriz Identidad ...
... y al mismo tiempo una Matriz Identidad se convirtió en A-1
¡HECHO! Como magia, y tan divertido como resolver cualquier rompecabezas.
(Compara esta respuesta con la que se obtuvo en Inversa de una Matriz usando Menores, Cofactores y la Adjunta. ¿Es la misma? ¿Qué método prefieres?)
Un método sistemático
¡No hay una única "forma correcta" de hacerlo!
Podemos seguir probando y haciendo ajustes hasta obtener la respuesta correcta final.
Pero puede ser útil seguir un plan:
- Primero, busca un 1 en la esquina superior izquierda.
- Luego, intenta obtener 0 en el resto de esa columna.
- Después, busca un 1 en el siguiente elemento de la diagonal, y 0 en los demás lugares de esa columna.
- ¡Repite hasta que tengas la matriz identidad!
Matrices más grandes
Podemos hacer esto con matrices más grandes, por ejemplo, prueba esta matriz 4x4:
Inicia así:
Mira si puedes hacerlo tú mismo (podrías comenzar dividiendo la primera fila por 4, pero hazlo a tu manera).
Puedes verificar tu respuesta usando la Calculadora de Matrices (usa el botón "inv(A)").
Por qué funciona
Me gusta pensar de esta manera:
- cuando convertimos "8" en "1" dividiendo por 8,
- y hacemos lo mismo con "1", se convierte en "1/8"
Y "1/8" es el inverso (multiplicativo) de 8
O, más técnicamente:
El efecto total de todas las operaciones de fila es el mismo que multiplicar por A-1
Así que A se convierte en I (porque A-1A = I)
Y I se convierte en A-1
(porque A-1I
= A-1)
¿Y si no funciona?
Podemos terminar con una fila llena de ceros en el lado izquierdo (el lado de A).
¡Eso significa que no podemos convertirla en la Matriz Identidad, ya que la matriz es Singular y no tiene inversa! Sí, esto puede pasar.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
