Polinomios: Suma y Producto de Raíces

Raíces de un polinomio

Una "raíz" (o "cero") es donde un polinomio es igual a cero:

Gráfica de una desigualdad

En pocas palabras: una raíz es el valor de x donde el valor de y es igual a cero.

Polinomio general

Si tenemos un polinomio general como este:

f(x) = axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ... + z

Entonces:

Sumar las raíces da −b/a

Multiplicar las raíces da:

z/a (para polinomios de grado par, como los cuadráticos)
−z/a (para polinomios de grados impares como cúbicos)

Lo que a veces puede ayudarnos a resolver cosas.

¿Cómo funciona esta magia? Vamos a averiguar ...

Factores

Podemos tomar un polinomio, como:

f(x) = axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ... + z

Y luego factorizarlo así:

f(x) = a(x−p)(x−q)(x−r)...

Entonces p, q, r, etc. son las raíces (donde el polinomio es igual a cero)

Cuadrática

Probemos esto con una cuadrática (donde el mayor exponente de la variable es 2):

ax² + bx + c

Cuando las raíces son p y q, la misma cuadrática se convierte en:

a(x−p)(x−q)

¿Existe una relación entre a, b, c y p, q?

Desarrollemos a(x−p)(x−q):

a(x−p)(x−q)
= a( x² − px − qx + pq )
= ax² − a(p+q)x + apq

Ahora comparemos:

Cuadrática:	ax²	+bx	+c
Factores expandidos:	ax²	−a(p+q)x	+apq

Ahora podemos ver que −a(p+q)x = bx, por lo tanto:

−a(p+q) = b

p+q = −b/a

Y como apq = c, tenemos:

pq = c/a

Y obtenemos este resultado:

La suma de las raíces da −b/a
El producto de las raíces da c/a

Esto puede ayudarnos a resolver preguntas rápidamente.

Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación cuyas raíces son 5 + √2 y 5 − √2?

La suma de las raíces es (5 + √2) + (5 − √2) = 10
El producto de las raíces es (5 + √2) (5 − √2) = 25 − 2 = 23

Y queremos una ecuación como esta:

ax² + bx + c = 0

Cuando a=1, podemos deducir que:

Suma de las raíces = −b/a = -b
Producto de las raíces = c/a = c

Lo que nos da este resultado:

x² − (suma de las raíces)x + (producto de las raíces) = 0

La suma es 10 y el producto es 23, así que obtenemos:

x² − 10x + 23 = 0

Y aquí está la gráfica:

Gráfica de x al cuadrado menos 10x más 23 mostrando raíces cerca de 3.6 y 6.4

Juega con ella aquí:

images/function-graph.js?fn0=ax%5E2-10x+23&xmin=-8&xmax=20&ymin=-9&ymax=6&vara=1|-2|2

(Pregunta: ¿qué pasa si elegimos a=−1?)

Cúbica

Ahora miremos una cúbica (un grado mayor que la cuadrática):

ax³ + bx² + cx + d

Al igual que con la cuadrática, expandamos los factores:

a(x−p)(x−q)(x−r)
= ax³ − a(p+q+r)x² + a(pq+pr+qr)x − a(pqr)

Y obtenemos:

Cúbica:	ax³	+bx²	+cx	+d
Factores expandidos:	ax³	−a(p+q+r)x²	+a(pq+pr+qr)x	−apqr

Podemos ver que −a(p+q+r)x² = bx², así que:

−a(p+q+r) = b

p+q+r = −b/a

Y como −apqr = d, tenemos:

pqr = −d/a

Esto es interesante... obtenemos un patrón similar:

La suma de las raíces da −b/a (exactamente igual que en la cuadrática).
El producto de las raíces da −d/a (similar al +c/a de la cuadrática).

(También obtenemos pq+pr+qr = c/a, lo cual también puede ser muy útil).

Polinomios de grados superiores

El mismo patrón continúa con polinomios superiores.

En general:

Sumar las raíces da −b/a
Multiplicar las raíces da (donde "z" es la constante al final):
- z/a (para polinomios de grado par, como los cuadráticos)
- −z/a (para polinomios de grado impar, como los cúbicos)

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).