Introducción a la Programación Lineal
La Programación Lineal puede encontrar el mejor resultado cuando nuestros requisitos están definidos por ecuaciones lineales / desigualdades (básicamente líneas rectas).
Ejemplo:
Este gráfico tiene "restricciones": las tres líneas y los ejes x e y.
El área coloreada es la "región factible".
Si nuestro objetivo es maximizar el valor de y, podemos ver que:
Un valor de x alrededor de 1.1 nos da el valor máximo de y alrededor de 2.1
Nota:
- Las restricciones también se llaman limitaciones o requisitos
- El objetivo o mejor resultado es lo que estamos tratando de optimizar, como maximizar el beneficio o minimizar el costo.
- Todas las restricciones, y nuestro objetivo, tienen que ser ecuaciones lineales (es decir, líneas).
Y "planificación" es quizás una mejor palabra que "programación" (la cual fue elegida antes de que la programación informática fuera común).
La programación lineal puede ayudarnos a abordar decisiones complejas en fabricación, transporte, finanzas, etc., cuando nos enfrentamos a cosas como costos variables, mano de obra, suministros y niveles de ventas.
Simplifica el proceso de toma de decisiones al definir objetivos claros y considerar todas las restricciones para encontrar la solución más eficiente.
Resolviendo
Podemos resolver preguntas simples de dos variables utilizando el Método Gráfico:
Traza las restricciones en un gráfico para crear una "región factible", encuentra cada vértice (punto de esquina), luego calcula el valor de nuestro objetivo en esos puntos.
Podemos elegir el máximo o el mínimo según lo deseado.
Ejemplo: Fabricantes de Robots de Granja
Una empresa fabrica robots de granja que controlan las malas hierbas.
- Hay dos modelos: BuenAmigo y SimpleAmigo
- Tienen 2 equipos: mecánicos y eléctricos
- BuenAmigo requiere de 5 horas de mecánicos y 3 horas de eléctricos para fabricarse
- SimpleAmigo requiere de 4 horas de mecánicos y 4 horas de eléctricos
- El equipo mecánico tiene 80 horas disponibles por día, el eléctrico solo 60 horas
- BuenAmigo genera un beneficio de $300 cada uno, SimpleAmigo $350 cada uno.
¿Cuántos deberían hacer cada día?
Usaremos b para BuenAmigo y s para SimpleAmigo
- Para los trabajadores mecánicos: 5b + 4s ≤ 80
- Para los trabajadores eléctricos: 3b + 4s ≤ 60
También es justo decir que ni b ni s pueden ser menores que 0
Así que obtenemos este gráfico:
El polígono tiene puntos de esquina (0,0), (16,0), (10,7.5) y (0,15)
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal dice que el valor máximo (o mínimo) de la función objetivo estará en uno de esos puntos, ¡así que revisemos cada uno!
Nuestro beneficio máximo es cuando se producen 10 BuenAmigos y 7.5 SimpleAmigos cada día.
(Sí, 7.5 no es un número entero, ¡así que algunos días habrá un robot a medio terminar en el taller!)
Algunas herramientas que podrían ayudarte son el Graficador de Ecuaciones (donde puedes ingresar cosas como "3x+4y=60") y el Graficador de Desigualdades.
Nota: para preguntas más difíciles donde graficar no es práctico, existe el Método Simplex. Tiene muchos pasos, pero todos utilizan aritmética básica. No lo cubrimos aquí, pero hay muchas explicaciones en Internet.
Usos de la Programación Lineal
- Planificación de Producción: Los fabricantes lo utilizan para encontrar la mejor mezcla de productos que maximice el beneficio dentro de sus límites de recursos, como materias primas y horas de máquina.
- Agricultura: Los agricultores lo aplican para asignar tierra a cultivos de manera eficiente, con el objetivo de aumentar el beneficio considerando la calidad del suelo, el suministro de agua y la demanda.
- Transporte: Las empresas optimizan rutas para transportar mercancías de manera rentable, teniendo en cuenta costos de combustible, capacidad de vehículos y plazos de entrega.
- Gestión Energética: Las empresas de energía distribuyen estratégicamente la producción de energía para satisfacer la demanda mientras reducen costos y emisiones.
- Atención Médica: Los hospitales lo utilizan para gestionar eficazmente el personal, el equipo y las necesidades de los pacientes mientras se adhieren a restricciones como horas de personal y presupuestos.
- Finanzas e Inversión: Las instituciones financieras lo utilizan para optimizar carteras y cumplir con objetivos de rentabilidad, minimizando el riesgo y considerando tasas de interés y condiciones del mercado.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
