Racionalizar el denominador
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"Racionalizar el denominador" es cuando mueves una
raíz (por ejemplo una raíz cuadrada o cúbica) de la parte de abajo de una fracción a la de arriba. |
¡Oh No! ¡Un denominador irracional!
La parte de abajo de una fracción se llama denominador.
Los números como 2 y 3 son racionales.
Pero muchas raíces, tales como √2 y √3, son irracionales.
Ejemplo: 1 √2 tiene un denominador irracional
Para que esté en su "forma más simple", ¡el denominador no debe ser irracional!
Corregir esto (haciendo que el denominador sea
racional)
se llama "Racionalizar el denominador"
Nota: un denominador irracional no es que esté mal, sigue funcionando. Pero no es la "mínima expresión" y, por lo tanto, puede quitarte puntos en un examen.
Además, las ecuaciones pueden ser más fáciles de resolver y los cálculos más sencillos sin un denominador irracional, así que vale la pena aprender cómo hacerlo.
Entonces... ¿cómo se hace?
1. Multiplica arriba y abajo por una raíz
A veces podemos simplemente multiplicar tanto el numerador como el denominador por una raíz:
Ejemplo: 1 √2 tiene un denominador irracional. Vamos a arreglarlo.
Multiplica arriba y abajo por la raíz cuadrada de 2, porque: √2 × √2 = 2:
1 √2 × √2 √2 = √2 2
Ahora el denominador es un número racional (2). ¡Listo!
Es preferible tener un número irracional en la parte de arriba (numerador) de una fracción.
Mira más abajo una comparación entre calcular 1 √2 y √2 2.
2. Multiplica arriba y abajo por el conjugado
Hay otra forma especial de mover una raíz cuadrada del fondo de una fracción a la parte de arriba... multiplicamos tanto arriba como abajo por el conjugado del denominador.
El conjugado es cuando cambiamos el signo central de dos términos:
El método que veremos funciona porque cuando multiplicamos algo por su conjugado obtenemos cuadrados de esta forma:
(a+b)(a−b) = a2 − b2
Así es como podemos hacerlo:
Ejemplo: aquí hay una fracción con un "denominador irracional":
¿Cómo podemos mover la raíz cuadrada de 2 a la parte de arriba?
Podemos multiplicar tanto arriba como abajo por 3+√2 (el conjugado de 3−√2), lo cual no cambiará el valor de la fracción:
1 3−√2 × 3+√2 3+√2 = 3+√2 32−(√2)2 = 3+√2 7
(¿Viste que usamos (a+b)(a−b) = a2 − b2 en el denominador?)
Usa tu calculadora para hallar el valor antes y después... ¿es el mismo?
Hay otro ejemplo en la página de Evaluación de límites (tema avanzado) donde muevo una raíz cuadrada de arriba hacia abajo.
Útil
Así que intenta recordar estos pequeños trucos, ¡podrían ayudarte a resolver una ecuación algún día!
Por diversión, intentemos calcular tanto 1 √2 como √2 2
Deberían ser lo mismo. Usemos 1.414 como una estimación aproximada para √2.
Para 1 √2 ≈ 1 1.414 necesitamos división larga:
1.414 )1.000
0
1.0000
0.9898
0.0102
etc... ¡me rindo, es muy difícil!
La respuesta es 0.70... algo.
Ahora intentemos √2 2 ≈ 1.414 2:
1.414 2 = 0.707 ¡fácil!
¿Qué forma prefieres?
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
