Límites (evaluación)

Primero deberías leer Límites (una introducción)

Resumen breve de límites

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Ejemplo:

(x² − 1) (x − 1)

Veamos x=1:

(1²− 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0

¡Calcular 0/0... vaya, difícil! De hecho no sabemos el valor de 0/0 porque es "indeterminado", lo que significa que necesitamos otra manera de calcular lo que buscamos.

Así que en lugar de calcular directamente con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

Ejemplo (continuación):

x		(x² − 1) (x − 1)
0.5		1.50000
0.9		1.90000
0.99		1.99000
0.999		1.99900
0.9999		1.99990
0.99999		1.99999
...		...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²−1) (x−1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones.

El límite de (x²−1) (x−1) cuando x tiende a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

limx→1x²−1x−1 = 2

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

Evaluar límites

"Evaluar" quiere decir calcular el valor de (piensa en e-"valua"-r)

En el ejemplo de arriba dijimos que el límite era 2 porque es lo que parecía. ¡Pero con eso no basta!

De hecho hay muchas maneras de tener la respuesta correcta. Veamos algunas:

1. Solo sustituye el valor

Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).

Ejemplo:

limx→10x2

102 = 5

¡Fácil!

Ejemplo:

limx→1x²−1x−1

(1−1)(1−1) = 00

Sin suerte. Necesitamos probar algo más.

2. Factores

Podemos probar factorizando.

Ejemplo:

limx→1x²−1x−1

Factorizando (x²−1) en (x−1)(x+1) tenemos:

limx→1 x²−1x−1 = limx→1 (x−1)(x+1)(x−1)

= limx→1 (x+1)

Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:

limx→1 (x+1) = 1+1 = 2

3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias
el signo en medio de dos términos,
así:

Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:

limx→4 2−√x4−x

Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!

Hagamos un reacomodo usando álgebra:

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:

2−√x4−x × 2+√x2+√x

Simplifica arriba usando (a+b)(a−b) = a² − b² :

2² − (√x)²(4−x)(2+√x)

Simplifica aún más:

4−x(4−x)(2+√x)

Neutraliza (4−x) arriba y abajo:

12+√x

Así que nos queda:

limx→4 2−√x4−x = limx→4 12+√x = 12+√4 = 14

¡Hecho!

4. Límites infinitos y funciones racionales

Una función racional es un cociente de dos polinomios:

f(x) = P(x)Q(x)

Por ejemplo, aquí tenemos P(x) = x³+ 2x − 1, y Q(x) = 6x²:

x³ + 2x − 16x²

Al encontrar el grado de la función podemos saber si el límite de la función es 0, +infinito, -infinito, o calcularlo fácilmente a partir de los coeficientes.

Lee sobre esto en límites en el infinito.

5. Regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital puede ayudarnos a evaluar límites que parecen ser "indeterminados", como 00 y ∞∞.

Lee sobre esto en Regla de L'Hôpital.

6. Método formal

El método formal consiste en demostrar que puedes acercarte tanto como quieras a la respuesta haciendo que "x" se acerque a "a".

Lee sobre esto en Límites (definición formal)

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

6770,6771,6772,6773,6774,6775,6776,6777,6778,6779