Límites (evaluación)
Primero deberías leer Límites (una introducción)
Resumen breve de límites
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Ejemplo:
(x2 − 1) (x − 1)
Veamos x=1:
(12 − 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0
¡Calcular 0/0... vaya, difícil! De hecho no sabemos el valor de 0/0 porque es "indeterminado", lo que significa que necesitamos otra manera de calcular lo que buscamos.
Así que en lugar de calcular directamente con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
Ejemplo (continuación):
| x | (x2 − 1) (x − 1) | |
| 0.5 | 1.50000 | |
| 0.9 | 1.90000 | |
| 0.99 | 1.99000 | |
| 0.999 | 1.99900 | |
| 0.9999 | 1.99990 | |
| 0.99999 | 1.99999 | |
| ... | ... |
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2−1) (x−1) se acerca a 2
Ahora tenemos una situación interesante:
- Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
- Pero vemos que va a ser 2
Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones.
El límite de (x2−1) (x−1) cuando x tiende a 1 es 2
Y con símbolos se escribe así:
limx→1x2−1x−1 = 2
Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"
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En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2. |
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Evaluar límites
"Evaluar" quiere decir calcular el valor de (piensa en e-"valua"-r)
En el ejemplo de arriba dijimos que el límite era 2 porque es lo que parecía. ¡Pero con eso no basta!
De hecho hay muchas maneras de tener la respuesta correcta. Veamos algunas:
1. Sólo sustituye el valor
Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).
Ejemplo:
| limx→10x2 |  |
102 = 5 |  |
¡Fácil!
Ejemplo:
| limx→1x2−1x−1 | |
(1−1)(1−1) = 00 |  |
Sin suerte. Necesitamos probar algo más.
2. Factores
Podemos probar factorizando.
| Ejemplo: |  |
| Factorizando (x2−1) en (x−1)(x+1) tenemos: | |
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| Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite: | |
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3. Conjugar
Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.
| El conjugado es cuando cambias el signo entre dos términos, así: |
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Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:
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Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida! |
Así que vamos a manipular un poco:
| Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba: |  |
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Simplifica arriba usando  : |
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| Simplifica arriba un poco más: |  |
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| Neutraliza (4−x) arriba y abajo: |  |
Así que nos queda:
¡Hecho!
4. Límites infinitos y funciones racionales
| Una función racional es un cociente de dos polinomios: |  |
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| Por ejemplo, aquí tenemos P(x) = x3 + 2x − 1, y Q(x) = 6x2: |  |
Al encontrar el grado de la función podemos saber si el límite de la función es 0, +infinito, -infinito, o calcularlo fácilmente a partir de los coeficientes.
Lee sobre esto en límites en el infinito.
5. Regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpitalpuede ayudarnos a evaluar límites que parecen ser "indeterminados", como 00 y ∞∞.
Lee sobre esto en Regla de L'Hôpital.
6. Método formal
El método formal consiste en demostrar que puedes acercarte tanto como quieras a la respuesta haciendo que "x" se acerque a "a".
Lee sobre esto en Límites (definición formal)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
