Sumas Parciales
Una Suma Parcial es una Suma de una Parte de una Sucesión.
Ejemplo:
Esta es la Sucesión de números pares de 2 en adelante: {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
Esta es la Suma Parcial de los primeros 4 términos de esa sucesión: 2+4+6+8 = 20
Vamos a definir las cosas un poco mejor ahora:
Una Sucesión es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden.
Una Suma Parcial es la suma de parte de la sucesión..
La suma de términos infinitos es una Serie Infinita.
Y las sumas parciales a veces se denominan "Series Finitas".
Sigma
Las sumas parciales a menudo se escriben usando Σ, queriendo decir "suma todo":
Así que Σ significa sumar cosas ...
¿Sumar qué? |
||
|
Suma lo que sea que esté después del Sigma: |
Σ
n
|
|
| así que sumamos n | ||
¿Pero qué valores de n? |
||
|
Los valores se muestran abajo. |
4
Σ
n=1
n
|
|
| dice que n va de 1 a 4, es decir, 1, 2, 3 y 4 |
||
OK, sígamos ... |
||
|
Entonces ahora sumamos 1, 2, 3 y 4: |
4
Σ
n=1
n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
|
|
Aquí está en un diagrama:
Más poder
¡Pero Σ
puede hacer cosas más poderosas que eso!
Podemos elevar n al cuadrado cada vez y sumar el resultado:
Podemos sumar los primeros cuatro términos en la sucesión 2n+1:
Y podemos usar otras letras, aquí usamos i y sumamos i × (i+1), yendo de 1 a 3:
Y podemos comenzar y terminar con cualquier número. Aquí vamos de 3 a 5:
Propiedades
Las sumas parciales tienen algunas propiedades útiles que pueden ayudarnos a realizar los cálculos.
Propiedad de multiplicación por una constante
Supongamos que tenemos algo que queremos sumar, llamémoslo ak.
ak podría ser k2, o k(k-7)+2, o... cualquier cosa, en realidad.
Y c es un valor constante (como 2, o −9.1, etc.), entonces:
En otras palabras: si cada término que estamos sumando está multiplicado por una constante, podemos "sacar" la constante fuera del símbolo sigma.
Ejemplo:
Así que, en lugar de sumar 6k2, podemos sumar k2 y luego multiplicar el resultado total por 6.
Propiedad de suma o resta
Aquí hay otro dato útil:
Lo cual significa que cuando dos términos se están sumando y queremos obtener su total, podemos sumarlos por separado y luego sumar los resultados.
Ejemplo:
Será más fácil hacer las dos sumas por separado y luego sumarlas al final.
Nota que esto también funciona para la resta:
Atajos útiles
Y aquí tienes algunos atajos que hacen que las sumas sean mucho más fáciles.
En cada caso, estamos intentando sumar desde 1 hasta un valor n.
Usemos algunos de estos:
Ejemplo 1: Vendes bloques de concreto para paisajismo.
Un cliente dice que comprará toda la "pirámide" de bloques que tienes afuera. La pila tiene 14 bloques de altura.
¿Cuántos bloques hay en total?
Cada capa es un cuadrado, por lo que el cálculo es:
12 + 22 + 32 + ... + 142
Pero esto se puede escribir de forma mucho más sencilla como:
Podemos usar la fórmula para k2 que vimos arriba:
Eso fue mucho más fácil que sumar uno por uno 12 + 22 + 32 + ... + 142.
Y aquí hay un ejemplo más complicado:
Ejemplo 2: El cliente quiere un mejor precio.
El cliente dice que los bloques de la parte exterior de la pirámide deberían ser más baratos, ya que necesitan limpieza.
Aceptas cobrar:
- $7 por los bloques exteriores
- y $11 por los bloques interiores
¿Cuál es el costo total?
Puedes calcular cuántos bloques "interiores" y "exteriores" hay en cualquier capa (excepto la primera) usando:
- bloques exteriores = 4×(tamaño−1)
- bloques interiores = (tamaño−2)2
Y así, el costo por capa es:
- costo (bloques exteriores) = $7 × 4(tamaño−1)
- costo (bloques interiores) = $11 × (tamaño−2)2
Entonces, todas las capas juntas (excepto la primera) costarán:
Ahora que tenemos la suma, ¡intentemos facilitar los cálculos!
Usando la "Propiedad de Suma" mencionada arriba:
Usando la "Propiedad de Multiplicación por Constante":
Eso está bien... pero nuestras fórmulas de atajo solo funcionan cuando el índice comienza en 1. Como estamos empezando en i=2, necesitamos usar un desplazamiento de índice para que las fórmulas encajen.
Inventemos dos nuevas variables para reiniciar nuestro punto de partida a 1:
- j = i−1
- k = i−2
Y tenemos (nota que cambiamos el 14 por 13 o 12 según fue necesario):
(También eliminamos el caso k=0, sabiendo que 02=0)
Y ahora podemos usar los atajos:
Tras un pequeño cálculo:
$7 × 364 + $11 × 650 = $9,698.00
¡Ah! Y no olvides la capa superior (tamaño=1), que es solo un bloque. ¡Tal vez se lo puedas dar gratis por ser tan generoso!
Nota: como comprobación, cuando sumamos los bloques "exteriores" e "interiores", más el de arriba, obtenemos:
364 + 650 + 1 = 1015
Que es el mismo número que obtuvimos para el "total de bloques" anteriormente... ¡yuju!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
