Series Infinitas
La suma de términos infinitos que siguen una regla.
Cuando tenemos una secuencia infinita de valores:
12 , 14 , 18 , 116 , ...
que siguen una regla (en este caso cada término es la mitad del anterior),
y los sumamos todos:
12 + 14 + 18 + 116 + ... = S
obtenemos una serie infinita.
(Nota: Los puntos suspensivos "..." significan "continuando indefinidamente")
Una Sucesión es una lista de números. Una Serie es lo que obtenemos cuando los sumamos.
Primer ejemplo
Sumar un número infinito de cosas suena como si fuera a tardar una eternidad (¡literalmente!), pero las matemáticas nos dan atajos.
Usemos nuestro ejemplo anterior:
12 + 14 + 18 + 116 + ... = 1
Y he aquí por qué:
(También mostramos una prueba usando álgebra más abajo)
Notación
A menudo usamos la Notación Sigma para series infinitas. Nuestro ejemplo anterior se ve así:
El símbolo Σ significa "sumar"
Otro ejemplo
14 + 116 + 164 + 1256 + ... = 13
Cada término es una cuarta parte del anterior, y la suma es igual a 1/3:
Mirando la imagen: en cada paso, coloreamos 1 cuadrado y dejamos 2 cuadrados del mismo tamaño vacíos. Como la parte coloreada es siempre 1 de cada 3 partes iguales, el área total coloreada termina siendo 13.
(Por cierto, este fue resuelto por Arquímedes hace más de 2200 años).
Convergencia
Sumemos los términos de uno en uno, en orden. Cuando la "suma hasta un cierto valor" se aproxima a un valor finito, se dice que la serie es "convergente":
Nuestro primer ejemplo:
12 + 14 + 18 + 116 + ...
Se suma así:
| Término | Suma parcial | |
| 1/2 | 0.5 | |
| 1/4 | 0.75 | |
| 1/8 | 0.875 | |
| 1/16 | 0.9375 | |
| 1/32 | 0.96875 | |
| ... | ... |
Las sumas se dirigen hacia un valor (1 en este caso), por lo que esta serie es convergente.
La "suma hasta cierto valor" se llama sumas parcial .
Entonces, más formalmente, decimos que es una serie convergente cuando:
"la secuencia de sumas parciales tiene un límite finito (el valor al que se acerca cada vez más)."
Divergencia
Si las sumas no convergen, se dice que la serie diverge.
Puede ir hacia +infinito, −infinito o simplemente oscilar de arriba a abajo sin establecerse en ningún valor.
Ejemplo:
Se suma así:
| Término | Suma parcial | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 3 | |
| 3 | 6 | |
| 4 | 10 | |
| 5 | 15 | |
| ... | ... |
Las sumas simplemente se hacen más y más grandes, no se dirigen a ningún valor finito.
No converge, por lo que es divergente y tiende al infinito.
Ejemplo: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ...
Sube y baja sin establecerse en un valor, por lo que es divergente.
Más ejemplos
Series Aritméticas
Cuando la diferencia entre cada término y el siguiente es constante, se llama serie aritmética.
(La diferencia entre cada término es 2).
.Series Geométricas
Cuando la razón entre cada término y el siguiente es constante, se llama serie geométrica.Nuestro primer ejemplo de arriba es una serie geométrica:
(La razón entre cada término es ½)
Y, como prometimos, podemos mostrarte por qué esa serie es igual a 1 usando álgebra:
Ahora resta S/2 de S
Todos los términos a partir de 1/4 se cancelan.
Y obtenemos: S − S/2 = 1/2 Simplifica: S/2 = 1/2 Y por lo tanto: S = 1Serie armónica
Esta es la Serie Armónica:
Es divergente.
¿Cómo lo sabemos? Comparémosla con otra serie.
Agrupamos los términos de modo que cada grupo sume al menos 12:
| 1 | + | 12 | + | 13+14 | + | 15+16+17+18 | + | 19+... |
 |
|
|
|
|
||||
| 1 | + | 12 | + | 14+14 | + | 18+18+18+18 | + | 116+... |
En cada caso, los valores de arriba son iguales o mayores que los de abajo.
Ahora, sumemos los grupos de abajo:
| 1 | + | 12 | + | 14+14 | + | 18+18+18+18 | + | 116+... | ||
|
|
|
|
|
||||||
| 1 | + | 12 | + | 12 | + | 12 | + | 12 | + | ... = ∞ |
Esa serie es divergente.
Por lo tanto, la serie armónica también debe ser divergente.
Aquí hay otra forma:
Podemos dibujar el área de cada término y compararla con el área bajo la curva 1/x:
Área de 1/x vs serie armónica
El cálculo nos dice que el área bajo 1/x (desde 1 en adelante) tiende al infinito, y la serie armónica es mayor que eso, por lo que debe ser divergente.
Serie alternada
Una Serie Alternada tiene términos que alternan entre positivo y negativo.
Puede converger o no.
Ejemplo: 12 − 14 + 18 − 116 + ... = 13
Esta ilustración puede convencerte de que los términos convergen en 13:
¿Quizás puedas intentar probarlo tú mismo? Prueba a emparejar cada par de más y menos, y luego busca arriba una serie que coincida.
Otro ejemplo de una Serie Alternada (basada en la Serie Armónica de arriba):
Esta converge en el logaritmo natural de 2.
Explicación avanzada:
Para mostrar POR QUÉ, primero empezamos con un cuadrado de área 1, y luego emparejamos las fracciones menos y más para mostrar cómo reducen el área al área bajo la curva y=1/x entre 1 y 2:
¿Puedes ver que lo que queda es el área de 1/x de 1 a 2?
Usando cálculo integral (confía en mí), ese área es ln(2):
¡Tú puedes investigar esto más a fondo!
- ¿esos rectángulos realmente forman el área por encima de la curva como se muestra?
- ¿es el área bajo la curva realmente ln(2) = 0.693... ? Prueba la Calculadora de Aproximación de Integrales para verlo (y=1/x entre 1 y 2)
¡Orden!
¡El orden de los términos puede ser muy importante! A veces podemos obtener resultados extraños cuando cambiamos su orden.
Por ejemplo, en una serie alternada, ¿qué pasaría si pusiéramos todos los términos positivos primero? ¡Así que ten cuidado!
Más
Hay otros tipos de series infinitas, y es interesante (¡y a menudo un reto!) averiguar si son convergentes o no, y a qué valor pueden converger.
