Sucesiones Aritméticas y Sumas
Sucesión
Una Sucesión es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden.
Cada número en la secuencia se llama término (o, a veces, "elemento" o "miembro"), lee Sucesiones y Series para más detalles.
Sucesión aritmética
En una sucesión aritmética, la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
En otras palabras, simplemente sumamos el mismo valor cada vez ... infinitamente.
Ejemplo: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada número.
El patrón continúa sumando 3 al
último número cada vez, así:
En general, podríamos escribir una sucesión aritmética así:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
donde:
- a es el primer término, y
- d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")
Ejemplo (continuación): 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Tiene:
- a = 1 (el primer término)
- d = 3 (la "diferencia común" entre términos)
Y obtenemos:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
{1, 1+3, 1+2×3, 1+3×3, ... }
{1, 4, 7, 10, ... }
Regla
Podemos escribir una sucesión aritmética como regla:
xn = a + d(n−1)
(Usamos "n−1" porque la d no se usa en el 1er
término).
Ejemplo. Escribe una regla y calcula el noveno término para esta sucesión aritmética:
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada número.
Los valores de a y d son:
- a = 3 (el primer término)
- d = 5 (la "diferencia común")
Usando la regla de sucesión aritmética:
xn = a + d(n−1)
= 3 + 5(n−1)
= 3 + 5n − 5
= 5n − 2
Entonces el noveno término es:
x9 = 5×9 − 2
= 43
¿Está bien? ¡Compruébalo por ti mismo!
Las sucesiones aritméticas a veces se llaman progresiones aritméticas.
Tema avanzado: Sumar una serie aritmética
Una serie es lo que obtenemos al sumar
los términos de una sucesión.
En otras palabras, ¡una serie es una suma!
Para sumar los términos de esta sucesión aritmética:
a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ...
Podemos hallar la suma usando esta fórmula Sigma:
Dice que sumar (a+kd) donde k va desde 0 hasta
(n−1) es igual a:
n2 (2a +
(n−1)d)
Este símbolo se llama Sigma. Simplemente significa "sumar".
Los números de abajo y de arriba muestran los valores inicial y final.
Por ejemplo:
dice: "Suma n donde n va desde 1 hasta 4". El resultado es 10.
Así es como se usa la fórmula:
Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de esta sucesión:
{ 1, 4, 7, 10, 13, ... }
Los valores de a, d y n son:
- a = 1 (el primer término)
- d = 3 (la diferencia común)
- n = 10 (cuántos términos vamos a sumar)
Ahora podemos usar la fórmula:
Comprobación: Suma los términos tú mismo (1 + 4 + 7 + ... + 28) y mira si también obtienes 145.
Nota al pie: ¿Por qué funciona la fórmula?
Veamos el ingenio que hay detrás de la fórmula.
Primero, llamaremos a la suma total "S":
Luego, reescribimos S en orden inverso:
Ahora sumamos ambas, término a término:
| S | = | a | + | (a+d) | + | ... | + | (a + (n−2)d) | + | (a + (n−1)d) |
| S | = | (a + (n−1)d) | + | (a + (n−2)d) | + | ... | + | (a + d) | + | a |
| 2S | = | (2a + (n−1)d) | + | (2a + (n−1)d) | + | ... | + | (2a + (n−1)d) | + | (2a + (n−1)d) |
¡Cada término es igual! Y hay "n" de ellos, así que...
Ahora, simplemente dividimos entre 2 y obtenemos:
S = n2 (2a + (n−1)d)
Que es nuestra fórmula:
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
