Sucesiones Geométricas y Sumas

Sucesión

Una sucesión es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden.

Sucesión

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica, cada término se encuentra multiplicando el término anterior por una constante.

Ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor de 2 entre cada número.

Cada término (excepto el primer término) se encuentra multiplicando el término anterior por 2.

sucesión geométrica 1,2,4,8,16,

En general, escribimos una sucesión geométrica como esta:

{a, ar, ar², ar³, ... }

donde:

a es el primer término y
r es el factor entre los términos (llamado "cociente común"o "razón")

Ejemplo: {1,2,4,8,...}

La sucesión comienza en 1 y se duplica cada vez, así que

a=1 (el primer término)
r=2 (la "razón" entre los términos, que en este caso es duplicar)

Y obtenemos:

{a, ar, ar², ar³, ... }

= {1, 1×2, 1×2², 1×2³, ... }

= {1, 2, 4, 8, ... }

Nota: cuando r=0, la sucesión es muy simple:

El primer término es a
Cada término después de ese es 0 porque estamos multiplicando por cero
Sucesión: {a, 0, 0, 0, ...}

La regla

También podemos calcular cualquier término usando la regla:

x_n = ar^(n-1)

(Se utiliza "n-1" porque ar⁰ representa al primer término)

Ejemplo: 10, 30, 90, 270, 810, 2430, ...

Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.

Los valores de a y r son:

a = 10 (el primer término)
r = 3 (la "razón" entre los términos)

La regla para cualquier término es:

x_n = 10 × 3^(n-1)

Así, el 4to término es:

x₄ = 10×3^(4-1) = 10×3³ = 10×27 = 270

Y el 10mo término es:

x₁₀= 10×3^(10-1) = 10×3⁹ = 10×19683 = 196830

Una sucesión geométrica también puede tener valores cada vez más pequeños:

Ejemplo: 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor de 0.5 (la mitad) entre cada número.

Su regla es x_n = 4 × (0.5)^n-1

¿Por qué se llama sucesión "geométrica"?

Porque es como aumentar las dimensiones en geometría:

	una línea es unidimensional y tiene una longitud de r
	en 2 dimensiones un cuadrado tiene un área de r²
	en 3 dimensiones un cubo tiene volumen r³
	etc (sí, podemos tener 4 y más dimensiones en matemáticas).

Las sucesiones geométricas a veces se llaman progresiones geométricas.

Sumando una sucesión geométrica

Para sumar esto:

a + ar + ar² + ... + ar^(n-1)

(Cada término es ar^k, donde k comienza en 0 y sube hasta n-1)

Podemos usar esta práctica fórmula:

n−1

k=0

(ar^k) = a( 1 − rⁿ 1 − r )

a es el primer término
r es la "razón común" entre términos
n es el número de términos

¿Qué es ese símbolo Σ tan raro? Se llama Notación Sigma

Σ (llamado Sigma) significa "sumar todo"

Y arriba y abajo se muestran los valores iniciales y finales:

Notación Sigma

Dice: "Suma n donde n va desde 1 hasta 4. Respuesta = 10"

La fórmula es fácil de usar... solo hay que "sustituir" los valores de a, r y n.

Ejemplo: Suma los primeros 4 términos de 10, 30, 90, 270, 810, 2430, ...

Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.

Los valores de a, r y n son:

a = 10 (el primer término)
r = 3 (la "razón común")
n = 4 (queremos sumar los primeros 4 términos)

Entonces:

n−1

k=0

(ar^k) = a( 1 − rⁿ 1 − r )

Se convierte en:

4−1

k=0

(10×3^k) = 10( 1 − 3⁴ 1 − 3 ) = 400

Puedes comprobarlo tú mismo:

10 + 30 + 90 + 270 = 400

Y, sí, es más fácil simplemente sumarlos en este ejemplo, ya que solo hay 4 términos.

Pero imagina sumar 50 términos... ahí la fórmula es mucho más sencilla.

Usando la fórmula

Veamos la fórmula en acción:

Ejemplo: Granos de arroz en un tablero de ajedrez

En la página de Dígitos Binarios damos un ejemplo de granos de arroz en un tablero de ajedrez. Se plantea la siguiente pregunta:

Cuando colocamos arroz en un tablero de ajedrez:

1 grano en el primer cuadro,
2 granos en el segundo,
4 granos en el tercero, y así sucesivamente,
...

... duplicando los granos de arroz en cada cuadro ...

... ¿cuántos granos de arroz hay en total?

Tenemos:

a = 1 (el primer término)
r = 2 (se duplica cada vez)
n = 64 (64 cuadros en un tablero de ajedrez)

Así que:

n−1

k=0

(ar^k) = a( 1 − rⁿ 1 − r )

Se convierte en:

64−1

k=0

(1×2^k) = 1( 1 − 2⁶⁴ 1 − 2 )

= 1 − 2⁶⁴−1

= 2⁶⁴ − 1

= 18,446,744,073,709,551,615

Que fue exactamente el resultado que obtuvimos en la página de Dígitos Binarios (¡menos mal!).

Y otro ejemplo, esta vez con r menor que 1:

Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de la Sucesión Geométrica que se reduce a la mitad cada vez:

{ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }

Los valores de a, r y n son:

a = ½ (el primer término)
r = ½ (se reduce a la mitad cada vez)
n = 10 (10 términos a sumar)

Entonces:

n−1

k=0

(ar^k) = a( 1 − rⁿ 1 − r )

Se convierte en:

Sigma

Muy cerca de 1.

(Pregunta: si seguimos aumentando n, ¿qué crees que pase?)

¿Por qué funciona la fórmula?

Veamos por qué funciona la fórmula, porque vamos a usar un "truco" muy interesante que vale la pena conocer.

Primero, llama a la suma total "S": S = a + ar + ar² + ... + ar⁽ⁿ⁻²⁾+ ar⁽ⁿ⁻¹⁾ Luego, multiplica S por r: S·r = ar + ar² + ar³ + ... + ar⁽ⁿ⁻¹⁾ + arⁿ

¿Notas que S y S·r son similares?

¡Ahora réstalos!

Demostración

¡Guau! Todos los términos del medio se cancelan limpiamente.
(Es un truco genial)

Al restar S·r de S obtenemos un resultado simple:

S − S·r = a − arⁿ

Vamos a reordenarlo para encontrar S:

Factoriza S y a:S(1−r) = a(1−rⁿ) Divide entre (1−r):S = a (1−rⁿ)(1−r)

Que es nuestra fórmula (¡tará!):

n−1

k=0

(ar^k) = a( 1 − rⁿ 1 − r )

Series geométricas infinitas

¿Qué sucede cuando n tiende al infinito?

Podemos usar esta fórmula:

∞

k=0

(ar^k) = a( 1 1 − r )

Pero ten cuidado:

r debe estar entre (pero sin incluir) −1 y 1

Así, nuestra serie geométrica infinita tiene una suma finita cuando la razón es menor que 1 (y mayor que −1).

Recuperemos nuestro ejemplo anterior y veamos qué pasa:

Ejemplo: Suma TODOS los términos de la Sucesión Geométrica que se reduce a la mitad cada vez:

{ 12, 14, 18, 116, ... }

Tenemos:

a = ½ (el primer término)
r = ½ (se reduce a la mitad cada vez)

Y entonces:

∞

k=0

(½ × ½^k) = ½( 1 1 − ½ )

= ½ × 1½ = 1

Sí, sumar 12 + 14 + 18 + ... infinitamente es igual a exactamente 1.

¿No me crees? Solo mira este cuadrado:

Al sumar 12 + 14 + 18 + ...

¡terminamos completando el cuadrado entero!

Decimal periódico

En otra página preguntamos "¿0.999... es igual a 1?". Bueno, veamos si podemos calcularlo:

Ejemplo: Calcular 0.999...

Podemos escribir un decimal periódico como una suma así:

Notación Sigma para 0.999

Y ahora podemos usar la fórmula:

Cálculo de la suma infinita

¡Sí! 0.999... es igual a 1.

Ahí lo tienes... las Sucesiones Geométricas (y sus sumas) pueden hacer todo tipo de cosas asombrosas y poderosas.

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).