Sucesiones Geométricas y Sumas
Sucesión
Una sucesión es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden.
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica, cada término se encuentra multiplicando el término anterior por una constante.
Ejemplo:
| 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... |
Cada término (excepto el primer término) se encuentra multiplicando el término anterior por 2.
En general, escribimos una sucesión geométrica como esta:
{a, ar, ar2, ar3, ... }
donde:
- a es el primer término y
- r es el factor entre los términos (llamado "cociente común"o "razón")
Ejemplo: {1,2,4,8,...}
La sucesión comienza en 1 y se duplica cada vez, así que
- a=1 (el primer término)
- r=2 (la "razón" entre los términos, que en este caso es duplicar)
Y obtenemos:
{a, ar, ar2, ar3, ... }
= {1, 1×2, 1×22, 1×23, ... }
= {1, 2, 4, 8, ... }
Pero ten cuidado, r no debe ser 0:
- Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a, 0,0, ...}, la cual no es geométrica
La regla
También podemos calcular cualquier término usando la regla:
xn = ar(n-1)
(Se utiliza "n-1" porque ar0 representa al primer término)
Ejemplo:
| 10, 30, 90, 270, 810, 2430, ... |
Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.
Los valores de a y r son:
- a = 10 (el primer término)
- r = 3 (la "razón" entre los términos)
La regla para cualquier término es:
xn = 10 × 3(n-1)
Así, el 4to término es:
x4 = 10×3(4-1) = 10×33 = 10×27 = 270
Y el 10mo término es:
x10 = 10×3(10-1) = 10×39 = 10×19683 = 196830
Una sucesión geométrica también puede tener valores cada vez más pequeños:
Ejemplo:
| 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... |
Su regla es xn = 4 × (0.5)n-1
¿Por qué se llama sucesión "geométrica"?
Porque es como aumentar las dimensiones en geometría:
 |
una línea es unidimensional y tiene una longitud de r |
| en 2 dimensiones un cuadrado tiene un área de r2 | |
| en 3 dimensiones un cubo tiene volumen r3 | |
| etc (sí, podemos tener 4 y más dimensiones en matemáticas). |
Las sucesiones geométricas a veces se llaman progresiones geométricas.
Sumando una sucesión geométrica
Para sumar esto:
a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)
(Cada término es ark, donde k comienza en 0 y sube hasta n-1)
Podemos usar esta práctica fórmula:
a es el primer término
r es la "razón" entre términos
n es el número de términos
¿Cuál es ese símbolo raro? Se llama Notación Sigma
 |
(llamado Sigma) significa "suma" |
Y abajo y arriba se muestran los valores iniciales y finales:
Dice "Suma n donde n va de 1 a 4. Respuesta=10
La fórmula es fácil de usar ... simplemente "pon" los valores de a, r y n
Ejemplo: Suma los primeros 4 términos de
| 10, 30, 90, 270, 810, 2430, ... |
Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.
Los valores de a, r y n son:
- a = 10 (el primer término)
- r = 3 (la razón común)
- n = 4 (queremos sumar los primeros 4 términos)
Entonces:
Se convierte en:
Puedes verificarlo tú mismo:
10 + 30 + 90 + 270 = 400
Y sí, es más fácil sumarlos en este ejemplo, ya que solo hay 4 términos. Pero imagina sumar 50 términos ... entonces la fórmula es mucho más fácil.
Usando la fórmula
Veamos la fórmula en acción:
Ejemplo: granos de arroz en un tablero de ajedrez
En la página Dígitos Binarios vemos un ejemplo de granos de arroz en un tablero de ajedrez. Se hace la pregunta:
Cuando colocamos arroz en un tablero de ajedrez:
- 1 grano en el primer cuadrado,
- 2 granos en el segundo cuadrado,
- 4 granos en el tercero y así sucesivamente,
- ...
... duplicamos los granos de arroz en cada cuadro ...
... ¿cuántos granos de arroz habrá en total?
Entonces se tiene:
- a = 1 (el primer término)
- r = 2 (duplicamos cada vez)
- n = 64 (64 cuadrados en un tablero de ajedrez)
Entonces:
Se convierte en:
= 1−264−1 = 264 − 1
= 18,446,744,073,709,551,615
Que es exactamente el resultado que obtuvimos en la página de Dígitos Binarios (¡gracias al cielo!)
Y otro ejemplo, esta vez con r menor que 1:
Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de la sucesión geométrica que se reduce a la mitad cada vez:
{ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }
Los valores de a, r y n son:
- a = ½ (el primer término)
- r = ½ (se parte a la mitad cada vez)
- n = 10 (10 términos a sumar)
Entonces:
Se convierte en:
Muy cerca de 1.
(Pregunta: si seguimos aumentando n, ¿qué ocurre?)
¿Por qué funciona la fórmula?
Veamos porqué funciona la fórmula, pues podremos usar un "truco" interesante que vale la pena conocer.
¿Te das cuenta que S y S·r son similares?
¡Ahora réstalos!
¡Guauu! Todos los términos en el medio se cancelan
perfectamente.
(Lo cual es un buen truco)
Entonces, si restamos S·r de S obtenemos un resultado simple:
S − S·r = a − arn
Vamos a reorganizarlo para encontrar S:
Que es nuestra fórmula (¡ta-da!):
Infinite Geometric Series
¿Qué ocurre cuando n va hasta infinito?
Podemos usar esta fórmula:
Pero sé cuidadoso:
r debe estar entre (pero sin incluir) −1 y 1
y r no debería ser 0 porque la sucesión {a, 0,0, ...} no es geométrica
Volvamos a nuestro ejemplo anterior y veamos qué sucede:
Ejemplo: Suma TODOS los términos de la sucesión geométrica que se reduce a la mitad cada vez:
{ 12, 14, 18, 116, ... }
Tenemos:
- a = ½ (el primer término)
- r = ½ (se parte a la mitad cada vez)
Así que:
= ½×1½ = 1
Sí, sumar 12 + 14 + 18 + ...etc es exactamente 1.
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¿No me crees? Solo mira este cuadrado: Sumando 12 + 14 + 18 + ... ¡Logramos abarcarlo todo! |
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Decimal recurrente
En otro artículo preguntamos "¿Es verdad que 0.999... es igual a 1?", bueno, veamos si podemos calcularlo:
Ejemplo: Calcula 0.999...
Podemos escribir un decimal recurrente mediante una suma como esta:
Y ahora podemos usar la fórmula:
¡Sí! 0.999... sí es igual a 1.
Así que ahí lo tenemos ... Las sucesiones geométricas (y sus sumas) pueden hacer todo tipo de cosas asombrosas y poderosas.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
