Concavidad y Convexidad

     
Cóncava hacia arriba es cuando la pendiente crece:   la pendiente aumenta, cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo es cuando la pendiente decrece:   pendiente decrece, cóncava hacia abajo

¿Qué pasa cuando la pendiente permanece igual (línea recta)? ¡Podría ser ambas! Ver nota al pie.

Aquí hay más ejemplos:

ejemplos de concavidad hacia arriba y hacia abajo

Cóncava hacia abajo también se conoce como Cóncava o Convexa hacia arriba

Cóncava hacia arriba también se conoce como Convexa o Convexa hacia abajo

Encontrar en dónde...

Por lo general, nuestra tarea es encontrar dónde una curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo:


secciones cóncavas

Definición

El punto clave es que una línea dibujada entre cualesquiera dos puntos de la curva no cruzará la curva:

cóncavo hacia arriba ejemplos: sí y no

¡Hagamos una fórmula para eso!

Primero, la línea: toma dos valores diferentes a y b (en el intervalo que estamos viendo):

cóncava hacia arriba entre a y b

Luego "recorre" entre a y b usando un valor t (que va de 0 a 1):

x = ta + (1−t)b

Ahora calcula las alturas en ese valor de x:

cóncava línea t  

En x = ta + (1−t)b:

  • La curva es y = f( ta + (1−t)b )
  • La línea es y = tf(a) + (1−t)f(b)

Y (para una cóncava hacia arriba) la línea no debe estar por debajo de la curva:

cóncava hacia arriba f( ta + (1-t)b ) <= tf(a) + (1-t)f(b)

Para una cóncava hacia abajo la línea no debe estar por encima de la curva ( se vuelve ):

cóncava hacia abajo f( ta + (1-t)b ) >= tf(a) + (1-t)f(b)

Y esas son las definiciones para cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Cálculo

¡Las derivadas pueden ayudar! La derivada de una función nos arroja la pendiente.

Si calculamos la segunda derivada, esta nos dice si la pendiente crece o decrece continuamente.

Ejemplo: la función x2

x^2 cóncava hacia arriba

Su derivada es 2x (lee Reglas de Derivación)

2x crece continuamente, por lo que la función es cóncava hacia arriba.

Su segunda derivada es 2

2 es positivo, así que la función es cóncava hacia arriba.

Ambos dan la respuesta correcta.

 

Ejemplo: f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x

5x^3 + 2x^2 - 3x punto de inflexión

Calculemos la segunda derivada:

 

Y 30x + 4 es negativa hasta x = −4/30 = −2/15, y positiva a partir de ahí. Entonces:

f(x) es cóncava hacia abajo hasta x = −2/15
f(x) es cóncava hacia arriba de x = −2/15 en adelante

 

Nota: El punto donde cambia se llama punto de inflexión.

 

Nota al pie: La pendiente se mantiene igual

¿Qué pasa cuando la pendiente permanece igual (línea recta)?

Una línea recta se acepta como Cóncava hacia arriba o Cóncava hacia abajo.

Pero una línea recta no vale cuando decimos Estrictamente cóncava hacia arriba o Estrictamente cóncava hacia abajo.

2x+1

Ejemplo: y = 2x + 1

2x + 1 es una línea recta.

 

Es Cóncava hacia arriba.
También es Cóncava hacia abajo.

No es Estrictamente cóncava hacia arriba.
Y tampoco es Estrictamente cóncava hacia abajo.