Concavidad y Convexidad
Cóncava hacia arriba es cuando la pendiente crece: | ||
Cóncava hacia abajo es cuando la pendiente decrece: |
¿Qué pasa cuando la pendiente permanece igual (línea recta)? ¡Podría ser ambas! Ver nota al pie.
Aquí hay más ejemplos:
Cóncava hacia abajo también se conoce como Cóncava o Convexa hacia arriba
Cóncava hacia arriba también se conoce como Convexa o Convexa hacia abajo
Encontrar en dónde...
Por lo general, nuestra tarea es encontrar dónde una curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo:
Definición
El punto clave es que una línea dibujada entre cualesquiera dos puntos de la curva no cruzará la curva:
¡Hagamos una fórmula para eso!
Primero, la línea: toma dos valores diferentes a y b (en el intervalo que estamos viendo):
Luego "recorre" entre a y b usando un valor t (que va de 0 a 1):
x = ta + (1−t)b
- En t=0 nos queda x = 0a+1b = b
- En t=1 nos queda x = 1a+0b = a
- Cuando t está entre 0 y 1 obtenemos valores entre a y b
Ahora calcula las alturas en ese valor de x:
En x = ta + (1−t)b:
|
Y (para una cóncava hacia arriba) la línea no debe estar por debajo de la curva:
Para una cóncava hacia abajo la línea no debe estar por encima de la curva (≤ se vuelve ≥):
Y esas son las definiciones para cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Cálculo
¡Las derivadas pueden ayudar! La derivada de una función nos arroja la pendiente.
- Cuando la pendiente crece continuamente, la función es cóncava hacia arriba.
- Cuando la pendiente decrece continuamente, la función es cóncava hacia abajo.
Si calculamos la segunda derivada, esta nos dice si la pendiente crece o decrece continuamente.
- Cuando la segunda derivada es positiva, la función es cóncava hacia arriba.
- Cuando la segunda derivada es negativa, la función es cóncava hacia abajo.
Ejemplo: la función x2
Su derivada es 2x (lee Reglas de Derivación)
Su segunda derivada es 2
Ambos dan la respuesta correcta.
Ejemplo: f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x
Calculemos la segunda derivada:
- La derivada es f'(x) = 15x2 + 4x − 3 (usando la Regla de las Potencias)
- La segunda derivada es f''(x) = 30x + 4 (usando la Regla de las Potencias)
Y 30x + 4 es negativa hasta x = −4/30 = −2/15, y positiva a partir de ahí. Entonces:
Nota: El punto donde cambia se llama punto de inflexión.
Nota al pie: La pendiente se mantiene igual
¿Qué pasa cuando la pendiente permanece igual (línea recta)?Una línea recta se acepta como Cóncava hacia arriba o Cóncava hacia abajo.
Pero una línea recta no vale cuando decimos Estrictamente cóncava hacia arriba o Estrictamente cóncava hacia abajo.
Ejemplo: y = 2x + 1
2x + 1 es una línea recta.
Es Cóncava hacia arriba.
También es Cóncava hacia abajo.
No es Estrictamente cóncava hacia arriba.
Y tampoco es Estrictamente cóncava hacia abajo.