Regla de la Cadena
La derivada nos dice la pendiente de una función en cualquier punto.
Hay reglas que podemos seguir para encontrar muchas derivadas.
Por ejemplo:
- La pendiente de un valor constante (como 3) siempre es 0
- La pendiente de una línea como 2x es 2, o 3x es 3, etc.
- Y así sucesivamente.
Si sabemos la tasa de cambio de dos cosas relacionadas, ¿cómo calculamos la tasa de cambio general?
¡La Regla de la Cadena nos dice cómo!
Usemos alguna notación. Llamemos al perro "y", a mí "x" y tú puedes ser "u":
- dydx es la velocidad de Pinto en relación a mí
- dydu es la velocidad de Pinto en relación a ti
- dudx es tu velocidad en relación a mí
Entonces:
dy dx = dy du du dx
Ejemplo: El mismo ejemplo, pero usando la notación anterior:
- Pinto puede correr 3 veces más rápido que tú, así que dydu = 3
- Tú puedes correr 2 veces más rápido que yo, así que dudx = 2
dy dx = dy du du dx = 3 × 2 = 6
¡Pero no suele ser tan fácil!
Porque una función puede depender del valor actual de la otra (que a su vez está cambiando continuamente).
Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2)?
Hay dos funciones que toman lugar aquí, sin() y x2.
Pero no es sin(x), es sin(el resultado de x2)
Usemos "u" para x2 para que podamos tener:
dy dx = dy du du dx
Lo que se convierte en:
d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2
Las derivadas individuales son:
- d du sin(u) = cos(u)
- d dx x2 = 2x
Así que:
d dx sin(x2) = cos(u) (2x)
Reemplazando u = x2:
d dx sin(x2) = cos(x2) (2x)
Lo cual se ve más limpio de esta manera:
d dx sin(x2) = 2x cos(x2)
Notaciones
¡Hay varias notaciones diferentes que se pueden usar!
| Notación | Regla de la Cadena | |
|---|---|---|
| Usando d dx | dy dx = dy du du dx | |
| Usando ’ (que significa derivada de) | f(g(x)) = f’(g(x))g’(x) | |
| Como "composición de funciones" | f º g = (f’ º g) × g’ | |
Hagamos el ejemplo anterior de nuevo usando f(g(x)) = f'(g(x))g'(x):
Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2)?
sin(x2) está compuesto de sin() y x2:
- f(g) = sin(g)
- g(x) = x2
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = cos(g)
- g'(x) = 2x
Así que:
d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)
= 2x cos(x2)
Mismo resultado que antes (¡menos mal!)Otro par de ejemplos:
Ejemplo: ¿Cuál es ddx(1/cos(x))?
1/cos(x) está compuesto de 1/g y cos():
- f(g) = 1/g
- g(x) = cos(x)
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = −1/(g2)
- g'(x) = −sin(x)
Así que:
(1/cos(x))’ = −1g(x)2(−sin(x))
= sin(x)cos2(x)
Nota: sin(x)cos2(x) también es tan(x)cos(x) o muchas otras formas.
Ejemplo: ¿Cuál es ddx(5x−2)3?
La Regla de la Cadena dice:
la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
(5x−2)3 está compuesto de g3 y 5x−2:
- f(g) = g3
- g(x) = 5x−2
Las derivadas individuales son:
- f'(g) = 3g2 (por la regla de potencias)
- g'(x) = 5
Así que:
ddx(5x−2)3 = (3g(x)2)(5)
= 15(5x−2)2
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
