Fórmulas de Desviación Estándar
Desviación significa qué tan lejos del promedio
Desviación Estándar
La Desviación Estándar es una medida de cuán dispersos están los números.
Tal vez prefieras leer primero esta página más simple sobre la Desviación Estándar.
Pero aquí explicamos las fórmulas.
El símbolo de la Desviación Estándar es σ (la letra griega sigma).
La fórmula de la Desviación Estándar es:
¿Cómo es eso? ¡Por favor explica!
OK. Vamos a explicarlo paso a paso.
Digamos que tenemos un conjunto de números como 9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11.
Para calcular la desviación estándar de esos números:
- 1. Calcula la Media (el promedio simple de los números)
- 2. Luego, para cada número: resta la Media y eleva el resultado al cuadrado
- 3. Luego calcula la media de esas diferencias al cuadrado
- 4. ¡Toma la raíz cuadrada de eso y listo!
La fórmula en realidad dice todo eso, y te mostraré cómo.
Explicación de la fórmula
Primero, usemos algunos valores de ejemplo con los que trabajar:
Ejemplo: Roberto tiene 20 rosales.
El número de flores en cada rosal es
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
Calcula la Desviación Estándar.
Paso 1. Calcula la media
En la fórmula de arriba μ (la letra griega "mu") es la media de todos nuestros valores...
Ejemplo: 9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
La media es:
9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+420
= 14020 = 7
Y entonces μ = 7
Paso 2. Luego, para cada número: resta la Media y eleva al cuadrado el resultado
Esta es la parte de la fórmula que dice:
¿Y qué es xi? Son los valores individuales de x: 9, 2, 5, 4, 12, 7, y así sucesivamente...
En otras palabras, x1 = 9, x2 = 2, x3 = 5, y así sucesivamente.
Así que dice "para cada valor, resta la media y eleva al cuadrado el resultado", de esta manera:
Ejemplo (continuación):
(9 - 7)2 = (2)2 = 4
(2 - 7)2 = (-5)2 = 25
(5 - 7)2 = (-2)2 = 4
(4 - 7)2 = (-3)2 = 9
(12 - 7)2 = (5)2 = 25
(7 - 7)2 = (0)2 = 0
(8 - 7)2 = (1)2 = 1
... y así sucesivamente ...
Y obtenemos estos resultados:
4, 25, 4, 9, 25, 0, 1, 16, 4, 16, 0, 9, 25, 4, 9, 9, 4, 1, 4, 9
Paso 3. Luego calcula la media de esas diferencias al cuadrado.
Para calcular la media, suma todos los valores y luego divide entre cuántos son.
Primero suma todos los valores del paso anterior.
Pero, ¿cómo decimos "sumarlos todos" en matemáticas? Usamos "Sigma": Σ
La práctica Notación Sigma nos indica sumar tantos términos como queramos:
Notación Sigma
Queremos sumar todos los valores de 1 a N, donde N=20 en nuestro caso porque hay 20 valores:
Ejemplo (continuación):
Lo que significa: Suma todos los valores desde (x1-7)2 hasta (xN-7)2
Ya calculamos (x1-7)2=4 y así sucesivamente en el paso anterior, así que solo súmalos:
= 4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9 = 178
Pero esa todavía no es la media, necesitamos dividir entre cuántos son, lo cual se hace multiplicando por 1/N (que es lo mismo que dividir entre N):
Ejemplo (continuación):
Media de las diferencias al cuadrado = (1/20) × 178 = 8.9
(Nota: a este valor se le llama "Varianza")
Paso 4. Toma la raíz cuadrada de eso:
Ejemplo (conclusión):
σ = √(8.9) = 2.983...
¡LISTO!
¿Por qué elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada? Al elevar al cuadrado, todas las diferencias se vuelven positivas y se da mayor peso a las diferencias más grandes. El resultado del Paso 3 es la varianza (en unidades al cuadrado). En el Paso 4 se saca la raíz cuadrada para que la desviación estándar vuelva a estar en las unidades originales (flores).
Desviación Estándar de una Muestra
Pero espera, hay más...
... a veces nuestros datos son solo una muestra de toda la población.
Ejemplo: Roberto tiene 20 rosales, ¡pero solo contó las flores en 6 de ellos!
La "población" son los 20 rosales,
y la "muestra" son los 6 rosales en los que Roberto contó las flores.
Digamos que el recuento de flores de Roberto es:
9, 2, 5, 4, 12, 7
Aun así podemos estimar la Desviación Estándar.
Pero cuando usamos la muestra como una estimación de toda la población, la fórmula de la Desviación Estándar cambia a esto:
La fórmula para la Desviación Estándar de una Muestra:
![raíz cuadrada de [ (1/(N-1)) veces Sigma i=1 a N de (xi - xbarra)^2 ]](images/standard-deviation-sample.svg)
El cambio importante es "N−1" en lugar de "N"
(lo cual se llama "corrección de Bessel").
¿Por qué N−1? Cuando tomamos una muestra, por lo general no incluimos los valores extremos de toda la población. Esto hace que la muestra parezca menos dispersa de lo que realmente es. Al dividir entre N−1 en lugar de N, hacemos que el resultado sea un poco mayor, ¡lo que nos da una mejor estimación!
Los símbolos también cambian para reflejar que estamos trabajando con una muestra en lugar de toda la población:
- La media es ahora x (llamada "x-barra") para la media muestral, en lugar de μ para la media de la población,
- Y la respuesta es s (para la desviación estándar de la muestra) en lugar de σ
Pero esto no afecta a los cálculos. Solo N−1 en lugar de N cambia los cálculos.
Bien, usemos ahora la Desviación Estándar de una Muestra:
Paso 1. Calcula la media
Ejemplo 2: Usando los valores de la muestra 9, 2, 5, 4, 12, 7
La media es (9+2+5+4+12+7) / 6 = 39/6 = 6.5
Así que:
x = 6.5
Paso 2. Luego, para cada número: resta la Media y eleva al cuadrado el resultado
Ejemplo 2 (continuación):
(9 - 6.5)2 = (2.5)2 = 6.25
(2 - 6.5)2 = (-4.5)2 = 20.25
(5 - 6.5)2 = (-1.5)2 = 2.25
(4 - 6.5)2 = (-2.5)2 = 6.25
(12 - 6.5)2 = (5.5)2 = 30.25
(7 - 6.5)2 = (0.5)2 = 0.25
Paso 3. Luego calcula la media de esas diferencias al cuadrado.
Para calcular la media, suma todos los valores y luego divide entre cuántos son.
Pero un momento... estamos calculando la Desviación Estándar de una Muestra, así que en lugar de dividir entre cuántos (N), dividiremos entre N−1
Ejemplo 2 (continuación):
Suma = 6.25 + 20.25 + 2.25 + 6.25 + 30.25 + 0.25 = 65.5
Divide entre N−1: (1/5) × 65.5 = 13.1
(A este valor se le llama "Varianza de la Muestra")
Paso 4. Toma la raíz cuadrada de eso:
Ejemplo 2 (conclusión):
s = √(13.1) = 3.619...
¡LISTO!
Comparación
Usando toda la población obtuvimos: Media = 7, Desviación Estándar = 2.983...
Usando la muestra obtuvimos: Media muestral = 6.5, Desviación Estándar muestral = 3.619...
Así que en este caso nuestra Media muestral tuvo un error del 7%, y nuestra Desviación Estándar muestral tuvo un error del 21%.
¿Por qué tomar una muestra?
Principalmente porque es más fácil y más barato.
Imagina que queremos saber qué piensa todo el país... no podemos preguntarle a millones de personas, así que en su lugar le preguntamos a unas 1,000 personas.
Hay una frase célebre (posiblemente de Samuel Johnson):
"No es necesario comerse todo el animal para saber que la carne está dura."
Esta es la idea esencial del muestreo. Para conocer información sobre la población (como la media y la desviación estándar), no necesitamos examinar a todos los miembros de la población; solo necesitamos una muestra.
Pero cuando tomamos una muestra, perdemos algo de precisión.
Experimenta con esto en el Simulador de Distribución Normal.
Resumen
|
La Desviación Estándar de la Población: |
|
|
| La Desviación Estándar de la Muestra: | |