Cumpleaños compartidos
Este es un gran acertijo, y puedes aprender mucho sobre probabilidad en el camino ...
Hay 30 personas en una habitación ... ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Asume 365 días en un año.
Algunas personas podrían pensar:
Eso da 30/365 = 0.08..., así que ¿tal vez alrededor del 8%?"
¡Pero no!
La probabilidad es mucho mayor.
En realidad, es probable que haya personas que compartan cumpleaños en esa habitación.
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Porque debes comparar a todos con todos los demás. Y con 30 personas, eso son 435 comparaciones. Pero también debes tener cuidado de no sobrecontar las probabilidades. |
Te mostraré cómo hacerlo ... comenzando con un ejemplo más pequeño:
Amigos y números aleatorios
4 amigos (Alex, Brenda, Cristian y Diana) eligen cada uno un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?
Iremos añadiendo a nuestros amigos uno a uno ...
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Brenda tengan el mismo número?
Brenda compara su número con el de Alex. Hay 1 probabilidad entre 5 de que coincidan.
Como diagrama de árbol:
Nota: "Sí" y "No" juntos suman 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Cristian ...
Pero ahora hay dos casos a considerar (llamada "Probabilidad condicional"):
- Si Alex y Brenda sí coincidieron, entonces Cristian solo tiene un número para comparar
- Pero si Alex y Brenda no coincidieron, entonces Cristian tiene dos números para comparar
Y obtenemos esto:
Para la línea superior (Alex y Brenda sí coincidieron) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).
Pero para el caso "Alex y Brenda no coincidieron" hay 2 números con los que Cristian podría coincidir, por lo que hay una probabilidad de 2/5 de que Cristian coincida (tanto con Alex como con Brenda). Y una probabilidad de 3/5 de no coincidir.
Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las probabilidades que tomó llegar allí:
Siguiendo el camino "No, Sí" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiendo el camino "No, No" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:
También observa que sumar todas las probabilidades da 1 (una buena comprobación de que no nos hemos equivocado):
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
¿Qué pasa ahora cuando incluimos a Diana?
Es la misma idea, solo que con más ramas:
Bien, esos son los 4 amigos, y las probabilidades de "Sí" juntas suman 101/125:
Respuesta: 101/125
Pero aquí hay algo interesante ... si seguimos el camino "No" podemos omitir todos los demás cálculos y hacernos la vida más fácil:
Las probabilidades de no coincidir son:
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
Así que las probabilidades de coincidir son:
1 − (24/125) = 101/125
(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)
Y ese es un truco popular en probabilidad:
A menudo es más fácil calcular el caso "No"
(y restarlo de 1 para el caso "Sí")
Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que, entre 6 personas, alguna de ellas celebre su cumpleaños en el mismo mes? (Asume meses iguales)
El caso de "no coincidir" para:
- 2 personas es 11/12
- 3 personas es (11/12) × (10/12)
- 4 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12)
- 5 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12)
- 6 personas es (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12)
Así que la probabilidad de no coincidir es:
(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12) = 0.224...
Invierte eso y obtenemos la probabilidad de coincidir:
1 − 0.224... = 0.776...
Por lo tanto, hay un 77.6% de probabilidad de que alguna de ellas celebre su cumpleaños en el mismo mes
Y ahora podemos intentar calcular la pregunta de los "Cumpleaños compartidos" con la que comenzamos:
Hay 30 personas en una habitación ... ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Asume 365 días en un año.
¡Es igual que el ejemplo anterior! Pero más grande y con más números:
- la 2.ª persona tiene una probabilidad de 364/365 de evitar el cumpleaños de la 1.ª persona
- la 3.ª persona debe evitar 2 cumpleaños, así que tiene una probabilidad de 363/365
- la 4.ª persona debe evitar 3 cumpleaños, así que tiene una probabilidad de 362/365
- y así sucesivamente hasta la persona número 30 (que debe evitar 29 cumpleaños), por lo que tiene una probabilidad de 336/365
La probabilidad de no coincidir:
364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 336/365 = 0.294...
(Hice ese cálculo en una hoja de cálculo,
pero también existen atajos matemáticos)
Y la probabilidad de coincidir es 1 − 0.294... :
La probabilidad de compartir un cumpleaños = 1 − 0.294... = 0.706...
O una probabilidad del 70.6%, ¡lo cual es probable!
Así que la probabilidad para 30 personas es de aproximadamente el 70%.
Y la probabilidad para 23 personas es de aproximadamente el 50%.
Y la probabilidad para 57 personas es del 99% (¡casi seguro!).
Simulación
También podemos simular esto usando números aleatorios. Pruébalo tú mismo aquí, usa 30 y 365 y presiona Ir. Se ejecutarán mil ensayos aleatorios y se mostrarán los resultados.
También puedes probar con los otros ejemplos anteriores, como 4 y 5 para simular "Amigos y números aleatorios".
En la vida real
La próxima vez que estés en una habitación con un grupo de personas, ¿por qué no averiguar si hay cumpleaños compartidos?
Nota al pie: En la vida real, los cumpleaños no se distribuyen de manera uniforme ... nacen más bebés en julio, agosto y septiembre. Además, los hospitales prefieren programar partos en días laborales, no los fines de semana, por lo que hay más nacimientos a principios de semana. Y luego están los años bisiestos. Pero ya captas la idea.