Probabilidad Condicional
Cómo manejar eventos dependientes
¡La vida está llena de eventos al azar! Necesitas tener una intuición y comprensión de estos eventos para ser una persona inteligente y exitosa.
Eventos independientes
Los eventos pueden ser "Independientes", lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.
Ejemplo: Lanzar una moneda.
Cada lanzamiento de una moneda es un evento perfectamente aislado.
Lo que ocurrió en el pasado no afectará al lanzamiento actual.
La probabilidad es simplemente 1 en 2, o 50%, al igual que en CUALQUIER lanzamiento de la moneda.
Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.
Eventos dependientes
Pero los eventos también pueden ser "dependientes" ... lo que significa que pueden verse afectados por eventos anteriores ...
Ejemplo: Canicas en una bolsa
Hay 2 canicas azules y 3 rojas en una bolsa.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica azul?
La probabilidad es de 2 en 5
¡Pero después de sacar una, las probabilidades cambian!
Entonces, la próxima vez:
si previamente sacamos una canica roja, entonces la probabilidad de sacar una canica azul después es de 2 en 4
si previamente sacamos una canica azul, entonces la probabilidad de sacar una canica azul después es de 1 en 4
Esto se debe a que estamos sacando canicas de la bolsa.
Por lo tanto, el próximo evento depende de lo que sucedió en el evento anterior, y se llama dependiente.
Reemplazo
Nota: si reemplazamos las canicas en la bolsa cada vez, entonces las probabilidades no cambian y los eventos son independientes:
- Con reemplazo: los eventos son independientes (las probabilidades no cambian)
- Sin reemplazo: los eventos son dependientes (las probabilidades cambian)
Los eventos dependientes son lo que estamos viendo aquí.
Diagrama de Árbol
Un Diagrama de Árbol es una manera maravillosa de visualizar lo que está sucediendo, así que construyamos uno para nuestro ejemplo de las canicas.
Hay una probabilidad de 2/5 de sacar una canica azul y una probabilidad de 3/5 para una roja:
Podemos ir un paso más allá y ver qué sucede cuando elegimos una segunda canica:
Si primero se seleccionó una canica azul, ahora hay una probabilidad de 1/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 3/4 de obtener una canica roja.
Si primero se seleccionó una canica roja, ahora hay una probabilidad de 2/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 2/4 de obtener una canica roja.
Ahora podemos responder a preguntas como: "¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 canicas azules?"
Respuesta: es una probabilidad de 2/5 seguida de una probabilidad de 1/4:
¿Viste cómo multiplicamos las probabilidades? Y obtuvimos 1/10 como resultado.
La probabilidad de sacar 2 canicas azules es 1/10
Notación
¡Nos encanta la notación en matemáticas! Significa que luego podemos usar el poder del álgebra para jugar con las ideas. Así que aquí está la notación para la probabilidad:
P(A) significa "Probabilidad del evento A"
En nuestro ejemplo de las canicas, el evento A es "obtener una canica azul primero" con una probabilidad de 2/5:
P(A) = 2/5
Y el evento B es "obtener una canica azul en segundo lugar" ... pero para eso tenemos 2 opciones:
- Si obtuvimos una canica azul primero, la probabilidad ahora es 1/4
- Si obtuvimos una canica roja primero, la probabilidad ahora es 2/4
Así que tenemos que decir cuál queremos, y usar el símbolo "|" que significa "dado":
P(B|A) significa "Evento B dado el evento A"
En otras palabras, el evento A ya ha ocurrido; ahora, ¿cuál es la probabilidad del evento B?
P(B|A) también se conoce como la "Probabilidad Condicional" de B dado A.
Y en nuestro caso:
P(B|A) = 1/4
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 2 canicas azules es:
Y la escribimos como
"La probabilidad del evento A y el evento B es igual a
la probabilidad del evento A multiplicada por la probabilidad del evento B dado el evento A"
Hagamos el siguiente ejemplo usando solo la notación:
Ejemplo: Sacar 2 reyes de una baraja
El evento A es sacar un rey primero, y el evento B es sacar un rey en segundo lugar.
Para la primera carta, la probabilidad de sacar un rey es de 4 de 52 (hay 4 reyes en una baraja de 52 cartas):
P(A) = 4/52
Pero después de sacar un rey de la baraja, es menos probable que la 2.ª carta sea un rey (solo quedan 3 reyes de las 51 cartas restantes):
P(B|A) = 3/51
Y por lo tanto:
Así que la probabilidad de sacar 2 reyes es de 1 en 221, o aproximadamente 0.5%
Encontrar datos ocultos
Usando álgebra también podemos "despejar" la fórmula, así:
| Empezamos con: | P(A y B) = P(A) x P(B|A) | |
| Intercambiamos los lados: | P(A) x P(B|A) = P(A y B) | |
| Dividimos entre P(A): | P(B|A) = P(A y B) / P(A) |
Y tenemos otra fórmula útil:
"La probabilidad del evento B dado el evento A es igual a
la probabilidad del evento A y el evento B dividida entre la probabilidad del evento A"
Ejemplo: Helados
Al 70% de tus amigos les gusta el chocolate, y al 35% les gusta el chocolate Y la fresa.
¿Qué porcentaje de a los que les gusta el chocolate también les gusta la fresa?
P(Fresa|Chocolate) = P(Chocolate y Fresa) / P(Chocolate)
Al 50% de tus amigos a los que les gusta el chocolate también les gusta la fresa
Gran ejemplo: Partido de fútbol
Vas a jugar al fútbol y quieres ser el portero, pero eso depende de quién sea el entrenador hoy:
- con el entrenador Sam, la probabilidad de ser portero es 0.5
- con el entrenador Alex, la probabilidad de ser portero es 0.3
Sam es entrenador más a menudo ... unas 6 de cada 10 veces (una probabilidad de 0.6).
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que seas portero hoy?
Construyamos un diagrama de árbol. Primero mostramos los dos posibles entrenadores: Sam o Alex:
La probabilidad de que te toque Sam es 0.6, por lo que la probabilidad de Alex debe ser 0.4 (juntas la probabilidad es 1)
Ahora, si te toca Sam, hay 0.5 de probabilidad de ser portero (y 0.5 de no serlo):
Si te toca Alex, hay 0.3 de probabilidad de ser portero (y 0.7 de no serlo):
El diagrama de árbol está completo, ahora calculemos las probabilidades generales. Recuerda que:
P(A y B) = P(A) x P(B|A)
Así es como se hace para la rama "Sam, Sí":
(Cuando multiplicamos la probabilidad de 0.6 de que Sam sea entrenador por la probabilidad de 0.5 de que Sam te deje ser portero, obtenemos una probabilidad de 0.3).
¡Pero aún no hemos terminado! No hemos incluido a Alex como entrenador:
Con 0.4 de probabilidad de que Alex sea entrenador, seguido de la probabilidad de 0.3, da 0.12
Y las dos ramas "Sí" del árbol juntas suman:
0.3 + 0.12 = 0.42 de probabilidad de ser portero hoy
(Eso es un 42% de probabilidad)
Comprobación
Un paso final: completa los cálculos y asegúrate de que sumen 1:
0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1
Sí, suman 1, así que parece correcto.
Amigos y números aleatorios
Aquí hay otro ejemplo bastante diferente de probabilidad condicional.
4 amigos (Alex, Brenda, Cristian y Diana) eligen cada uno un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?
Añadamos a nuestros amigos uno a la vez ...
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Brenda tengan el mismo número?
Brenda compara su número con el de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de que coincidan.
En un diagrama de árbol:
Nota: "Sí" y "No" juntos suman 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Cristian ...
Pero ahora hay dos casos a considerar:
- Si Alex y Brenda sí coincidieron, entonces Cristian solo tiene un número con el que comparar
- Pero si Alex y Brenda no coincidieron, entonces Cristian tiene dos números con los que comparar
Y obtenemos esto:
Para la línea superior (Alex y Brenda sí coincidieron) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).
Pero para "Alex y Brenda no coincidieron" ahora hay una probabilidad de 2/5 de que Cristian coincida (porque Cristian puede comparar su número tanto con el de Alex como con el de Brenda).
Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las probabilidades que tomó llegar allí:
Siguiendo el camino "No, Sí" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiendo el camino "No, No" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:
Observa también que cuando sumamos todas las probabilidades todavía obtenemos 1 (una buena comprobación de que no cometimos ningún error):
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
¿Qué pasa ahora cuando incluimos a Diana?
Es la misma idea, solo que con un paso más:
Muy bien, esos son los 4 amigos, y las probabilidades de "Sí" juntas suman 101/125:
Respuesta: 101/125
Pero aquí hay algo interesante ... si seguimos el camino del "No", podemos saltarnos todos los demás cálculos y hacernos la vida más fácil:
La probabilidad de no coincidir es:
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
Por lo tanto, la probabilidad de coincidir es:
1 - (24/125) = 101/125
(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)
Y ese es un truco muy común en probabilidad:
A menudo es más fácil calcular el caso "No"
(y restarlo de 1 para el caso "Sí")
(Esta idea se muestra con más detalle en Cumpleaños Compartidos.)