Diagramas de árbol en probabilidad

Calcular probabilidades puede ser difícil, a veces las sumamos, a veces las multiplicamos y, a menudo, es difícil saber qué hacer... ¡los diagramas de árbol al rescate!

Aquí hay un diagrama de árbol para el lanzamiento de una moneda:

Hay dos "ramas" (Cara y Escudo):

• La probabilidad de cada rama está escrita en la rama
• El resultado está escrito al final de la rama

Podemos extender el diagrama de árbol a dos lanzamientos de una moneda:

¿Cómo calculamos las probabilidades generales?

• Multiplicamos las probabilidades a lo largo de las ramas
• Sumamos las probabilidades hacia abajo en las columnas

Ahora podemos ver cosas como:

• La probabilidad de "Cara, Cara" es 0.5×0.5 = 0.25
• Todas las probabilidades suman 1.0 (lo cual siempre es una buena comprobación)
• La probabilidad de obtener al menos una Cara en dos lanzamientos es 0.25+0.25+0.25 = 0.75
• ... y más

Ese fue un ejemplo sencillo usando eventos independientes (cada lanzamiento de una moneda es independiente del lanzamiento anterior), pero los diagramas de árbol son realmente maravillosos para resolver eventos dependientes (donde un evento depende de lo que sucede en el evento anterior), como en este ejemplo:

Ejemplo: Partido de fútbol

Vas a jugar fútbol y te encanta ser el portero, pero eso depende de quién sea el entrenador hoy:

• con el entrenador Sam la probabilidad de ser portero es 0.5
• con el entrenador Alex la probabilidad de ser portero es 0.3

Sam es entrenador más a menudo... alrededor de 6 de cada 10 partidos (una probabilidad de 0.6).

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que seas portero hoy?

Construyamos el diagrama de árbol. Primero mostramos a los dos posibles entrenadores: Sam o Alex:

La probabilidad de que te toque Sam es 0.6, por lo que la probabilidad de Alex debe ser 0.4 (juntas, la probabilidad es 1)

Ahora, si te toca Sam, hay 0.5 de probabilidad de ser portero (y 0.5 de no serlo):

Si te toca Alex, hay 0.3 de probabilidad de ser portero (y 0.7 de no serlo):

El diagrama de árbol está completo, ahora calculemos las probabilidades generales. Esto se hace multiplicando cada probabilidad a lo largo de las "ramas" del árbol.

Así es como se hace para la rama "Sam, Sí":

(Cuando tomamos la probabilidad de 0.6 de que Sam sea el entrenador e incluimos la probabilidad de 0.5 de que Sam te permita ser portero, terminamos con una probabilidad de 0.3).

¡Pero aún no hemos terminado! No hemos incluido a Alex como entrenador:

Una probabilidad de 0.4 de Alex como entrenador, seguida de una probabilidad de 0.3 da 0.12.

Ahora sumamos la columna:

0.3 + 0.12 = 0.42 de probabilidad de ser portero hoy

(Eso es una probabilidad del 42%)

Comprobación

Un último paso: completa los cálculos y asegúrate de que sumen 1:

0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1

Sí, todo cuadra.

Puedes ver más usos de los diagramas de árbol en Probabilidad condicional.

Conclusión

Así que ahí lo tienes: cuando tengas dudas, dibuja un diagrama de árbol, multiplica a lo largo de las ramas y suma las columnas. Asegúrate de que todas las probabilidades sumen 1 y estarás listo.