Variables aleatorias - Continuas
Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Lanzar una moneda
Podríamos obtener Cara o Cruz.
Vamos a darles los valores Cara=0 y Cruz=1 y tenemos una variable aleatoria X:
En resumen:
X = {0, 1}
Nota: ¡Podríamos elegir Cara=100 y Cruz=150 u otros valores si queremos! Es nuestra elección.
Continuas
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:
- Los datos discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1, 2, 3, 4, 5)
- Los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
En nuestra Introducción a las Variables Aleatorias (¡por favor lee eso primero!) vemos muchos ejemplos de variables aleatorias discretas.
Pero aquí vemos el tema más avanzado de las Variables Aleatorias Continuas.
La distribución uniforme
La Distribución Uniforme (también llamada Distribución Rectangular) es la distribución continua más simple.
Entre a y b, todos los valores de la variable aleatoria son igualmente probables.
La densidad de probabilidad entre a y b es un valor constante p
La probabilidad total debe ser 1, por lo que el área del rectángulo debe ser 1:
Podemos escribir:
f(x) = 1b−a para a ≤ x ≤ b
f(x) = 0 en cualquier otro caso
Ejemplo: El géiser Old Faithful entra en erupción cada 91 minutos. Llegas allí al azar y esperas 20 minutos... ¿cuál es la probabilidad de que lo veas hacer erupción?
Esto en realidad es fácil de calcular, 20 minutos de 91 minutos es:
p = 20/91 = 0.22 (a 2 decimales)
Pero usemos la Distribución Uniforme para practicar.
Para encontrar la probabilidad entre a y a+20, halla el área azul:
Así que hay aproximadamente una probabilidad de 0.22 (22% de posibilidades) de que veas al Old Faithful entrar en erupción.
Si esperaras los 91 minutos completos, tendrías la certeza (p=1) de haberlo visto erupcionar.
¡Pero recuerda que esto es un suceso aleatorio! Podría entrar en erupción en el momento en que llegas, o en cualquier momento durante los 91 minutos.
Distribución uniforme acumulada
La Distribución Uniforme también se puede expresar como una distribución acumulada (que se va sumando a medida que avanza):
La probabilidad comienza en 0 y va aumentando hasta 1
Esto se llama Función de Distribución Acumulada, o FDA (o CDF por sus siglas en inglés).
F(x) es la notación estándar para la FDA.
Ejemplo (continuación):
Usemos la FDA de la Distribución Uniforme anterior para calcular la probabilidad:
En a+20 la probabilidad se ha acumulado a aproximadamente 0.22
Otras distribuciones
| Saber cómo usar la Distribución Uniforme ayuda cuando se trabaja con distribuciones más complicadas como esta: |  |
El nombre general para cualquiera de estas es función de densidad de probabilidad o FDP (o pdf por sus siglas en inglés)
La distribución normal
La distribución continua más importante es la Distribución Normal Estándar
Tiene media 0 y desviación estándar 1, y a su variable aleatoria se le asigna la letra especial Z.
La gráfica para Z es una curva simétrica en forma de campana:
Por lo general, queremos encontrar la probabilidad de que Z esté entre dos valores.
Ejemplo: P(0 < Z < 0.45)
(¿Cuál es la probabilidad de que Z esté entre 0 y 0.45?)
Esto se encuentra usando la Tabla de Distribución Normal Estándar
Ve a la fila 0.4, luego a lo largo hasta 0.05 (0.4+0.05=0.45) para encontrar 0.1736:
P(0 < Z < 0.45) = 0.1736
Resumen
- Una Variable Aleatoria asigna números a los resultados de un experimento aleatorio
- Las Variables Aleatorias pueden ser discretas o continuas
- Un buen ejemplo de una variable aleatoria continua es la variable Normal Estándar Z