Variables Aleatorias
Una Variable Aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Lanzar una moneda: podríamos obtener Cara o Escudo.
Vamos a darles los valores Cara=0 y Escudo=1 y tenemos una Variable Aleatoria "X":
En resumen:
X = {0, 1}
Nota: ¡Podríamos elegir Cara=100 y Escudo=150 u otros valores si queremos! Es nuestra elección.
Entonces:
- Tenemos un experimento (como lanzar una moneda)
- Damos valores a cada evento
- El conjunto de valores es una Variable Aleatoria
No es como una variable de álgebra
En Álgebra una variable, como x, es un valor desconocido:
Ejemplo: x + 2 = 6
En este caso podemos encontrar que x=4
Pero una Variable Aleatoria es diferente ...
Una Variable Aleatoria tiene un conjunto completo de valores ...
... y podría tomar cualquiera de esos valores, al azar.
Ejemplo: X = {0, 1, 2, 3}
X podría ser 0, 1, 2 o 3 al azar.
Y cada uno podría tener una probabilidad diferente.
Mayúsculas
Usamos una letra mayúscula, como X o Y, para evitar confusiones con el tipo de variable del álgebra.
Espacio Muestral
El conjunto de valores de una Variable Aleatoria es el Espacio Muestral.
Ejemplo: Lanzar un dado una vez
Variable Aleatoria X = "La puntuación que se muestra en la cara superior".
X podría ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6
Así que el Espacio Muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidad
Podemos mostrar la probabilidad de cualquier valor usando este estilo:
P(X = valor) = probabilidad de ese valor
Ejemplo (continuación): Lanzar un dado una vez
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En este caso todos son igualmente probables, por lo que la probabilidad de cualquiera es 1/6
- P(X = 1) = 1/6
- P(X = 2) = 1/6
- P(X = 3) = 1/6
- P(X = 4) = 1/6
- P(X = 5) = 1/6
- P(X = 6) = 1/6
Nota que la suma de las probabilidades = 1, como debe ser.
Ejemplo: ¿Cuántas caras obtenemos al lanzar 3 monedas?
X = "El número de Caras" es la Variable Aleatoria.
En este caso, podría haber 0 Caras (si todas las monedas caen en Escudo), 1 Cara, 2 Caras o 3 Caras.
Entonces el Espacio Muestral = {0, 1, 2, 3}
Pero esta vez los resultados NO son todos igualmente probables.
Las tres monedas pueden caer de ocho maneras posibles:
| X = "Número de Caras" |
|||
| CCC | |
3 | |
| CCE | |
2 | |
| CEC | |
2 | |
| CEE | |
1 | |
| ECC | |
2 | |
| ECE | |
1 | |
| EEC | |
1 | |
| EEE | |
0 |
Mirando la tabla vemos solo 1 caso de Tres Caras, pero 3 casos de Dos Caras, 3 casos de Una Cara y 1 caso de Cero Caras. Entonces:
- P(X = 3) = 1/8
- P(X = 2) = 3/8
- P(X = 1) = 3/8
- P(X = 0) = 1/8
Ejemplo: Se lanzan dos dados.
La Variable Aleatoria es X = "La suma de las puntuaciones en los dos dados".
Hagamos una tabla de todos los valores posibles:
| 1er Dado | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
2do Dado |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
Hay 6 × 6 = 36 posibles resultados, y el Espacio Muestral (que es la suma de las puntuaciones en los dos dados) es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Contemos con qué frecuencia ocurre cada valor y calculemos las probabilidades:
- 2 ocurre solo una vez, así que P(X = 2) = 1/36
- 3 ocurre dos veces, así que P(X = 3) = 2/36 = 1/18
- 4 ocurre tres veces, así que P(X = 4) = 3/36 = 1/12
- 5 ocurre cuatro veces, así que P(X = 5) = 4/36 = 1/9
- 6 ocurre cinco veces, así que P(X = 6) = 5/36
- 7 ocurre seis veces, así que P(X = 7) = 6/36 = 1/6
- 8 ocurre cinco veces, así que P(X = 8) = 5/36
- 9 ocurre cuatro veces, así que P(X = 9) = 4/36 = 1/9
- 10 ocurre tres veces, así que P(X = 10) = 3/36 = 1/12
- 11 ocurre dos veces, así que P(X = 11) = 2/36 = 1/18
- 12 ocurre solo una vez, así que P(X = 12) = 1/36
Un rango de valores
También podríamos calcular la probabilidad de que una Variable Aleatoria tome un rango de valores.
Ejemplo (continuación) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 5, 6, 7 u 8?
En otras palabras: ¿Cuánto es P(5 ≤ X ≤ 8)?
Resolver
También podemos resolver una ecuación de Variable Aleatoria.
Ejemplo (continuación) Si P(X=x) = 1/12, ¿cuál es el valor de x?
Mirando en la lista de arriba encontramos:
- P(X=4) = 1/12, y
- P(X=10) = 1/12
De modo que hay dos soluciones: x = 4 o x = 10
Observa los diferentes usos de X y x:
- X es la Variable Aleatoria "La suma de las puntuaciones en los dos dados"
- x es un valor que X puede tomar
Continuas
Las Variables Aleatorias pueden ser Discretas o Continuas:
- Los Datos Discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1, 2, 3, 4, 5)
- Los Datos Continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
Todos nuestros ejemplos han sido Discretos.
Aprende más en Variables Aleatorias Continuas.
Media, Varianza, Desviación Estándar
También puedes aprender cómo encontrar la Media, Varianza y Desviación Estándar de Variables Aleatorias.
Resumen
- Una Variable Aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio
- El conjunto de valores posibles se llama Espacio Muestral
- A una Variable Aleatoria se le asigna una letra mayúscula, como X o Z
- Las Variables Aleatorias pueden ser discretas o continuas