Variables Aleatorias:
Media, Varianza y
Desviación Estándar
Una Variable Aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Lanzar una moneda: podríamos obtener Cara o Cruz.
Démosles los valores Cara=0 y Cruz=1 y tenemos una Variable Aleatoria "X":
Entonces:
- Tenemos un experimento (como lanzar una moneda)
- Damos valores a cada evento
- El conjunto de valores es una Variable Aleatoria
Aprende más en Variables Aleatorias.
Media, Varianza y Desviación Estándar
Ejemplo: Lanzar un solo dado desequilibrado
Por diversión, imagina un dado cargado (¡trampa!) para que tengamos estas probabilidades:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
Media o Valor Esperado: μ
Cuando conocemos la probabilidad p de cada valor x podemos calcular el Valor Esperado (Media) de X:
μ = Σxp
Nota: Σ es Notación Sigma, y significa sumar.
Para calcular el Valor Esperado:
- multiplica cada valor por su probabilidad
- súmalos
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| xp | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 3 |
μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5
El valor esperado es 4.5
Nota: esta es una media ponderada: los valores con mayor probabilidad tienen una mayor contribución a la media.
Varianza: Var(X)
La Varianza es:
Var(X) = Σx2p − μ2
Para calcular la Varianza:
- eleva al cuadrado cada valor y multiplícalo por su probabilidad
- súmalos y obtenemos Σx2p
- luego resta el cuadrado del Valor Esperado μ2
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| x2p | 0.1 | 0.4 | 0.9 | 1.6 | 2.5 | 18 |
Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5
Var(X) = Σx2p − μ2 = 23.5 - 4.52 = 3.25
La varianza es 3.25
Desviación Estándar: σ
La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la Varianza:
σ = √Var(X)
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| x2p | 0.1 | 0.4 | 0.9 | 1.6 | 2.5 | 18 |
σ = √Var(X) = √3.25 = 1.803...
La Desviación Estándar es 1.803...
¡Veamos otro ejemplo!
(Nota que esta vez colocamos la tabla hacia abajo en lugar de a lo largo).
Planeas abrir un nuevo Pollo Frito McDougals, y encontraste estas estadísticas para restaurantes similares:
| Porcentaje | Ganancias del año |
|---|---|
| 20% | $50,000 Pérdida |
| 30% | $0 |
| 40% | $50,000 Ganancia |
| 10% | $150,000 Ganancia |
Usando eso como probabilidades para las ganancias de tu nuevo restaurante, ¿cuál es el Valor Esperado y la Desviación Estándar?
La Variable Aleatoria es X = 'ganancia posible'.
Suma xp y x2p:
| Probabilidad p |
Ganancias (miles) x |
xp |
x2p |
|---|---|---|---|
| 0.2 | -50 | -10 | 500 |
| 0.3 | 0 | 0 | 0 |
| 0.4 | 50 | 20 | 1000 |
| 0.1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Σxp = 25 | Σx2p = 3750 |
μ = Σxp = 25
Var(X) = Σx2p − μ2
= 3750 − 252
= 3750 − 625
= 3125
σ = √3125 = 56 (al número entero más cercano)
Pero recuerda que estos están en miles de dólares, por lo tanto:
- μ = $25,000
- σ = $56,000
Así que podrías esperar ganar $25,000, pero con una desviación muy amplia posible.
Probemos de nuevo, pero con una probabilidad mucho mayor para $50,000:
Ejemplo (continuación):
Ahora con probabilidades diferentes (el valor de $50,000 tiene una probabilidad alta de 0.7 ahora):
| Probabilidad p |
Ganancias (miles) x |
xp |
x2p |
|---|---|---|---|
| 0.1 | -50 | -5 | 250 |
| 0.1 | 0 | 0 | 0 |
| 0.7 | 50 | 35 | 1750 |
| 0.1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Sumas: | Σxp = 45 | Σx2p = 4250 |
μ = Σxp = 45
Var(X) = Σx2p − μ2
= 4250 − 452
= 4250 − 2025
= 2225
σ = √2225 = 47 (al número entero más cercano)
En miles de dólares:
- μ = $45,000
- σ = $47,000
La media está ahora mucho más cerca del valor más probable.
Y la desviación estándar es un poco más pequeña (lo que demuestra que los valores están más centrados).
Continuas
Las Variables Aleatorias pueden ser Discretas o Continuas:
- Los datos discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1, 2, 3, 4, 5)
- Los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
Aquí solo analizamos datos discretos, ya que hallar la Media, la Varianza y la Desviación Estándar de datos continuos requiere Integración.
Resumen
- Una Variable Aleatoria es una variable cuyos valores posibles son resultados numéricos de un experimento aleatorio
- La Media (Valor Esperado) es: μ = Σxp
- La Varianza es: Var(X) = Σx2p − μ2
- La Desviación Estándar es: σ = √Var(X)