Variables Aleatorias:
Media, Varianza y
Desviación Estándar

Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Al lanzar una moneda podríamos obtener Cara o Cruz.

Vamos a darles los valores Cara = 0 y Cruz = 1 y tenemos una variable aleatoria "X":

variable aleatoria lanzar moneda

Entonces:

Aprende más en Variable Aleatoria.

Media, Varianza y Desviación Estándar

un dado

Ejemplo: lanzar un dado dado desequilibrado

Por diversión, imagina un dado mal equilibrado (¡trampa!) para que tengamos estas probabilidades:

1 2 3 4 5 6
0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5

 

Media o Valor Esperado: μ

Cuando conocemos la probabilidad p de cada valor x podemos calcular el Valor Esperado (Media) de X:

μ = Σxp

Nota: Σ es Notación Sigma, y significa sumar.

Para calcular el valor esperado:

un dado

Ejemplo (continuación):

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
xp 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3

μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5

El valor esperado es 4.5

Nota: esta es la media ponderada: los valores con mayor probabilidad tienen mayor contribución a la media.

 

 

Varianza: Var(X)

La Varianza es:

Var(X) = Σx2p − μ2

Para calcular la varianza:

un dado

Ejemplo (continuación):

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
x2p 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 18

Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5

Var(X) = Σx2p − μ2 = 23.5 - 4.52 = 3.25

La varianza es: 3.25

 

Desviación Estándar: σ

La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la Varianza:

σ = √Var(X)

un dado

Ejemplo (continuación):

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
x2p 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 18

σ = √Var(X) = √3.25 = 1.803...

La Desviación Estándar es 1.803...

 

¡Veamos otro ejemplo!

(Ten en cuenta que en esta ocasión analizaremos la tabla hacia abajo en lugar de a lo largo).

pollo frito

Planeas abrir un nuevo Pollo Frito Texas, y encontraste estas estadísticas para restaurantes similares:

Porcentaje Ganancias al año
20% $50,000 Pérdida
30% $0
40% $50,000 Ganancia
10% $150,000 Ganancia

Usando esos valores como probabilidades para la ganancia de tu nuevo restaurante, ¿cuál es el Valor Esperado y Desviación Estándar?

 

La variable Aleatoria es X = 'ganancia posible'.

Suma xp y x2p:

Probabilidad
p
Ganancias ($'000s)
x

xp

x2p
0.2 -50 -10 500
0.3 0 0 0
0.4 50 20 1000
0.1 150 15 2250
Σp = 1   Σxp = 25 Σx2p = 3750

 

μ = Σxp = 25

Var(X) = Σx2p − μ2
= 3750 − 252
= 3750 − 625
= 3125

σ = √3125 = 56 (redondeado en enteros)

Pero recuerda que estos datos están en miles de dólares, así que:

Por lo tanto, puedes esperar ganar $25,000, pero con una desviación muy amplia posible.

Intentemos eso de nuevo, pero con una probabilidad mucho mayor de ganar $50,000:

Ejemplo (continuación):

Ahora con diferentes probabilidades (el valor de $50,000 tiene una alta probabilidad de 0.7 en esta ocasión):

Probabilidad
p
Ganancias ($'000s)
x

xp

x2p
0.1 -50 -5 250
0.1 0 0 0
0.7 50 35 1750
0.1 150 15 2250
Σp = 1 Sumas: Σxp = 45 Σx2p = 4250

 

μ = Σxp = 45

Var(X) = Σx2p − μ2
= 4250 − 452
= 4250 − 2025
= 2225

σ = √2225 = 47 (redondeado en enteros)

En miles de dólares:

La media ahora está mucho más cerca del valor más probable.

Y la desviación estándar es un poco más pequeña (lo que muestra que los valores son más centrales).

 

Continua

Las Variable Aleatorias pueden ser Discretas o Continuas:

Aquí miramos solo datos discretos, ya que encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de datos continuos requiere Integración.

 

Resumen

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10