Generalizaciones del Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Comencemos con un recordatorio del tradicional y conocido Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras dice que, en un
triángulo rectángulo:
el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados (a y b).
a2 + b2 = c2
Puedes saber más sobre el Teorema de Pitágoras y comprender su demostración algebraica.
Teorema de Pitágoras in 3D
El mundo en el que vivimos tiene tres dimensiones, entonces, ¿qué pasaría si consideramos el Teorema de Pitágoras en 3D?
Bueno, el teorema aún se cumple, y tendríamos algo como esto:
El cuadrado de la distancia c desde la esquina frontal inferior izquierda hasta la esquina posterior derecha superior de este cuboide cuyos lados son x, y y z, es:
c2 = x2 + y2 + z2
Lo anterior es parte de un patrón que se extiende hacia cualquier número de dimensiones. Para la n-ésima dimensión, tenemos:
c2 = a12 + a22 + ... + an2
Y esta es una generalización del Teorema de Pitágoras, pasando de 2D a 3D y hasta cualquier número de dimensiones.
Ley de Cosenos
¿Y si el triángulo no tiene un ángulo recto?
Para cualquier triángulo:
a, b y c son los
lados.
C es el ángulo opuesto al lado c
La ley de Cosenos dice:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
Tiene a2, b2 y c2,
y un término adicional: 2ab cos(C)
¡Aprende a utilizarla y obtén más información en Ley de Cosenos!
Estas dos generalizaciones ya son bonitas e inspiradoras ... ¡Pero hay más!
Teorema de Pitágoras y Áreas
¿Necesitan ser cuadrados en los lados
del triángulo?
¿Qué tal con semicírculos?
¡Descubre más en Teorema de Pitágoras y Áreas!
¿Exponentes más grandes?
Para terminar... Otro tipo de posible generalización sería llevar esto a exponentes más grandes.
an + bn = cn n>2
Esta es un área fascinante de investigación.
Ejemplo: n=3 y a, b y c números enteros
¿Existen números enteros a, b y c que hagan que se cumpla lo siguiente?
a3 + b3 = c3
Esto equivalente geométricamente a la pregunta:
Usando solo lados cuyas medidas son números enteros, ¿podemos dividir un cubo en dos cubos?
¿Podemos? ¡Tu turno! Para responder esto, empieza con las Ecuaciones Diofantinas y busca en la web el Último Teorema de Fermat.
