Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo: Aquí hay dos ecuaciones lineales:

2x	+	y	=	5
−x	+	y	=	2

Juntas son un sistema de ecuaciones lineales.

¿Puedes descubrir los valores de x y y tú mismo? (Solo inténtalo, juega un poco con ellas).

Ejemplo: Tú contra un caballo

¡Es una carrera!

Puedes correr 0.2km por minuto.

El caballo puede correr 0.5km por minuto. Pero lleva 6 minutos ensillar al caballo.

¿Hasta dónde puedes llegar antes de que el caballo te alcance?

 

Podemos hacer dos ecuaciones (d = distancia en km, t = tiempo en minutos)

• Corres a 0.2 km por minuto, así que d = 0.2t
• El caballo corre a 0.5 km por minuto, pero le quitamos 6 min de su tiempo: d = 0.5(t−6)

 

Entonces tenemos un sistema de ecuaciones (que son lineales):

• d = 0.2t
• d = 0.5(t−6)

La podemos resolver en una gráfica:

¿Ves cómo el caballo comienza a los 6 minutos, pero luego corre más rápido?

Parece que te alcanza después de 10 minutos ... solo después de 2 km de distancia.

Corre más rápido la próxima vez.

Ejemplo: Resuelve estas dos ecuaciones:

• x + y = 6
• −3x + y = 2

Las dos ecuaciones se muestran en esta gráfica:


 

Hmmm ... ¿cómo resolver esto? ¡Puede haber muchas formas! En este caso, ambas ecuaciones tienen "y", así que intentemos restar toda la segunda ecuación de la primera:

Ahora simplifiquémoslo:

Entonces ahora sabemos que las líneas se cruzan en x = 1.

Y podemos encontrar el valor correspondiente de y usando cualquiera de las dos ecuaciones originales (porque sabemos que tienen el mismo valor en x = 1). Usemos la primera (puedes probar el segundo tú mismo):

Y la solución es:

x = 1 y y = 5

¡Y la gráfica nos muestra que tenemos razón!

Ejemplo: 3 ecuaciones con 3 variables

2x	+	y	−	2z	=	3
x	−	y	−	z	=	0
x	+	y	+	3z	=	12

Ejemplo:

• x + y = 3
• 2x + 2y = 6

Esas ecuaciones son "dependientes", porque en realidad son la misma ecuación, simplemente una está multiplicada por 2.

Entonces la segunda ecuación no dio nueva información.

Ejemplo: Tú contra un caballo

La línea que te representa se cumple en toda su longitud (pero en ninguna otra parte).

En cualquier lugar de esa línea d es igual a 0.2t

• en t=5 y d=1, la ecuación es verdadera (¿Está en d = 0.2t? Sí, ya que 1 = 0.2×5 es verdad)
• en t=5 y d=3, la ecuación no es verdadera(¿Está en d = 0.2t? No, ya que 3 = 0.2×5 no es verdad)

De la misma manera, la línea que representa al caballo es verdadera en toda su longitud (pero en ninguna otra parte).

Pero solo en el punto donde se cruzan (en t = 10, d = 2) son ambas verdaderas.

Ejemplo: Tú contra un caballo

El sistema de ecuaciones es:

• d = 0.2t
• d = 0.5(t−6)

En este caso, parece más fácil establecerlos iguales entre sí:

d = 0.2t = 0.5(t−6)

 

 

Y nuestra solución es:

t = 10 minutos y d = 2 km

Ejemplo:

• 3x + 2y = 19
• x + y = 8

Podemos comenzar con cualquier ecuación y cualquier variable.

Usemos la segunda ecuación y la variable "y" (parece la ecuación más simple).

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

Podemos restar x de ambos lados de x + y = 8 para obtener y = 8 − x. Ahora nuestras ecuaciones se ven así:

• 3x + 2y = 19
• y = 8 − x

 

Ahora reemplaza "y" con "8 − x" en la otra ecuación:

• 3x + 2(8 − x) = 19
• y = 8 − x

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

Desarrolla 2(8−x):

• 3x + 16 − 2x = 19
• y = 8 − x

Luego 3x−2x = x:

• x + 16 = 19
• y = 8 − x

Y finalmente 19−16=3

• x = 3
• y = 8 − x

 

Ahora que sabemos el valor de x, podemos ponerlo en la ecuación y = 8 − x:

• x = 3
• y = 8 − 3 = 5

Y la respuesta es:

x = 3
y = 5

 

Nota: debido a que hay una solución, las ecuaciones son "consistentes"

 

Comprobación: ¿por qué no verificas si x = 3 y y = 5 se cumplen en ambas ecuaciones?

Ejemplo:

• x + z = 6
• z − 3y = 7
• 2x + y + 3z = 15

Deberíamos alinear las variables ordenadamente, o podemos perder la noción de lo que estamos haciendo:

 

x			+	z	=	6
	−	3y	+	z	=	7
2x	+	y	+	3z	=	15

 

Podemos comenzar con cualquier ecuación y cualquier variable. Usemos la primera ecuación y la variable "x".

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

x					=	6 − z
	−	3y	+	z	=	7
2x	+	y	+	3z	=	15

 

Ahora reemplaza "x" con "6 − z" en las otras ecuaciones:

(Afortunadamente, solo hay otra ecuación con x)

	x					=	6 − z
		−	3y	+	z	=	7
2(6−z)		+	y	+	3z	=	15

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

2(6−z) + y + 3z = 15 se simplifica a y + z = 3:

x					=	6 − z
	−	3y	+	z	=	7
		y	+	z	=	3

Bien. Hemos progresado un poco, pero todavía nos falta.

 

Ahora repite el proceso, pero solo para las últimas 2 ecuaciones.

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

Elige la última ecuación y la variable z:

x					=	6 − z
	−	3y	+	z	=	7
				z	=	3 − y

 

Ahora reemplaza "z" con "3 − y" en la otra ecuación:

x					=	6 − z
	−	3y	+	3 − y	=	7
				z	=	3 − y

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

−3y + (3−y) = 7 se simplifica a −4y = 4, o en otras palabras y = −1

x					=	6 − z
		y			=	−1
				z	=	3 − y

¡Casi listo!

 

Sabiendo que y = −1 podemos calcular z = 3−y = 4:

x					=	6 − z
		y			=	−1
				z	=	4

Y sabiendo que z = 4 podemos calcular que x = 6−z = 2:

x					=	2
		y			=	−1
				z	=	4

 

Y la respuesta es:

x = 2
y = −1
z = 4

 

Comprobación: por favor verifica esto tú mismo.

Ejemplo:

• 3x + 2y = 19
• x + y = 8

Muy importante para mantener las cosas ordenadas:

3x	+	2y	=	19
x	+	y	=	8

 

Ahora ... nuestro objetivo es eliminar una variable de una ecuación.

Primero vemos que hay un "2y" y una "y", así que trabajemos en eso.

Multipliquemos la segunda ecuación por 2:

3x	+	2y	=	19
2x	+	2y	=	16

Restemos la segunda ecuación de la primera ecuación:

x			=	3
2x	+	2y	=	16

¡Hurra! ¡Ahora sabemos cuánto es x!

 

A continuación, vemos que la segunda ecuación tiene "2x", así que dividamos a la mitad y luego restemos "x":

Multipliquemos la segunda ecuación por ½ (es decir, dividir por 2):

x			=	3
x	+	y	=	8

Restemos la primera ecuación de la segunda ecuación:

x			=	3
		y	=	5

¡LISTO!

Y la respuesta es:

x = 3 y y = 5

 

Y aquí está la gráfica:

La línea azul es donde 3x + 2y = 19 se cumple

La línea roja es donde x + y = 8 se cumple

En x = 3, y = 5 (donde se cruzan las líneas) ambas se cumplen. Ésa es la respuesta.

Ejemplo:

• 2x − y = 4
• 6x − 3y = 3

Pongamos todo ordenadamente:

2x	−	y	=	4
6x	−	3y	=	3

Multipliquemos la primera ecuación por 3:

6x	−	3y	=	12
6x	−	3y	=	3

Restemos la segunda ecuación de la primera:

0	−	0	=	9
6x	−	3y	=	3

0 − 0 = 9 ???

¿Qué está pasando aquí?

 

En pocas palabras, no hay solución.

 

En realidad son líneas paralelas:

Ejemplo:

• 2x − y = 4
• 6x − 3y = 12

Ordenamos:

2x	−	y	=	4
6x	−	3y	=	12

Multiplicamos la primera ecuación por 3:

6x	−	3y	=	12
6x	−	3y	=	12

Restamos la segunda ecuación de la primera:

0	−	0	=	0
6x	−	3y	=	3

0 − 0 = 0

Bueno, ¡eso es realmente VERDADERO! Cero es igual a cero ...

 

... eso es porque son realmente la misma ecuación ...

 

... así que hay un número infinito de soluciones

Son la misma línea:

Ejemplo:

• x + y + z = 6
• 2y + 5z = −4
• 2x + 5y − z = 27

Escrito de forma ordenada:

x	+	y	+	z	=	6
		2y	+	5z	=	−4
2x	+	5y	−	z	=	27

 

Primero, eliminamos x de la segunda y tercera ecuación.

No hay x en la segunda ecuación ... pasamos a la tercera ecuación:

Restamos 2 veces la 1ra ecuación de la 3ra ecuación (solo hacemos esto en la cabeza o en papel):

Y obtenemos:

x	+	y	+	z	=	6
		2y	+	5z	=	−4
		3y	−	3z	=	15

 

Luego, eliminamos y de la 3a ecuación.

Podríamos restar 1½ veces la segunda ecuación de la tercera ecuación (porque 1½ por 2 es 3) ...

... pero podemos evitar fracciones si:

• multiplicamos la 3a ecuación por 2 y
• multiplicamos la 2da ecuación por 3

y luego hacemos la resta ... así:

Y terminamos con:

x	+	y	+	z	=	6
		2y	+	5z	=	−4
				z	=	−2

¡Ahora tenemos esa "forma de triángulo"!

 

Ahora vamos de vuelta "sustituyendo hacia atrás":

Conocemos el valor de z, así que 2y+5z=−4 se convierte en 2y−10=−4, luego 2y=6, por lo que y=3:

x	+	y	+	z	=	6
		y			=	3
				z	=	−2

Después x+y+z=6 se convierte en x+3−2=6, de modo que x=6−3+2=5

x					=	5
		y			=	3
				z	=	−2

 

Y la respuesta es:

x = 5
y = 3
z = −2

 

Comprobación: por favor verifica tú mismo :)