Sistemas de Ecuaciones Lineales

 

lineal
Una Ecuación Lineal es una ecuación para una recta.

Una ecuación lineal no siempre tiene la forma y = 3.5 − 0.5x,

También puede ser escrita como y = 0.5(7 − x)

O como y + 0.5x = 3.5

O como y + 0.5x − 3.5 = 0 y más.

(Nota: ¡todas son la misma ecuación lineal!)

 

Un sistema de ecuaciones lineales es cuando tenemos dos o más ecuaciones lineales trabajando juntas.

Ejemplo: Aquí hay dos ecuaciones lineales:

2x + y = 5
−x + y = 2
Juntas son un sistema de ecuaciones lineales.

¿Puedes descubrir los valores de x y y tú mismo? (Solo inténtalo, juega un poco con ellas).

Intentemos construir y resolver un ejemplo del mundo real:

Ejemplo: Tú contra un caballo

caballo

¡Es una carrera!

Puedes correr 0.2km por minuto.

El caballo puede correr 0.5km por minuto. Pero lleva 6 minutos ensillar al caballo.

¿Hasta dónde puedes llegar antes de que el caballo te alcance?

 

Podemos hacer dos ecuaciones (d = distancia en km, t = tiempo en minutos)

  • Corres a 0.2 km por minuto, así que d = 0.2t
  • El caballo corre a 0.5 km por minuto, pero le quitamos 6 min de su tiempo: d = 0.5(t−6)

 

Entonces tenemos un sistema de ecuaciones (que son lineales):

  • d = 0.2t
  • d = 0.5(t−6)

La podemos resolver en una gráfica:

tú vs caballo (gráfica)

¿Ves cómo el caballo comienza a los 6 minutos, pero luego corre más rápido?

Parece que te alcanza después de 10 minutos ... solo después de 2 km de distancia.

Corre más rápido la próxima vez.

Entonces ahora sabes lo que es un Sistema de Ecuaciones Lineales.

Sigamos descubriendo más sobre ellos ...

Resolver

¡Puede haber muchas formas de resolver ecuaciones lineales!

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo: Resuelve estas dos ecuaciones:

gráfica de sistema de ecuaciones lineales

  • x + y = 6
  • −3x + y = 2
Las dos ecuaciones se muestran en esta gráfica:

Nuestra tarea es encontrar dónde se cruzan las dos líneas.

Bueno, podemos ver dónde se cruzan, por lo que ya está resuelto gráficamente.

¡Pero ahora vamos a resolverlo usando Álgebra!

 

Hmmm ... ¿cómo resolver esto? ¡Puede haber muchas formas! En este caso, ambas ecuaciones tienen "y", así que intentemos restar toda la segunda ecuación de la primera:
x + y − (−3x + y) = 6 − 2

Ahora simplifiquémoslo:

x + y + 3x − y = 6 − 2
4x = 4
x = 1
Entonces ahora sabemos que las líneas se cruzan en x = 1.

Y podemos encontrar el valor correspondiente de y usando cualquiera de las dos ecuaciones originales (porque sabemos que tienen el mismo valor en x = 1). Usemos la primera (puedes probar el segundo tú mismo):

x + y = 6
1 + y = 6
y = 5

Y la solución es:

x = 1 y y = 5

¡Y la gráfica nos muestra que tenemos razón!

Ecuaciones lineales

Solo se permiten variables simples en ecuaciones lineales. No x2, y3, √x, etc:

lineal vs no lineal
Lineal vs no-lineal

Dimensiones

Una Ecuación Lineal puede tener 2 dimensiones ...
(tales como x y y)
  Línea 2D
... o 3 dimensiones ...
(forma un plano)
  Plano 3D
... o 4 dimensiones ...    
... ¡o más!    

Variables Comunes

Para que las ecuaciones "trabajen juntas" tienen que compartir una o más variables:

Un sistema de ecuaciones tiene dos o más ecuaciones en una o más variables

Más Variables

Entonces, un Sistema de Ecuaciones podría tener muchas ecuaciones y muchas variables.

Ejemplo: 3 ecuaciones con 3 variables

2x + y 2z = 3
x y z = 0
x + y + 3z = 12
Puede haber cualquier combinación:

Soluciones

Cuando el número de ecuaciones es el mismo que el número de variables, es probable que haya una solución. No garantizado, pero probable.

De hecho, solo hay tres casos posibles:

Cuando no hay solución, las ecuaciones se denominan "inconsistentes".
Si hay una o infinitas soluciones se llaman "consistentes".

Aquí hay un diagrama para 2 ecuaciones en 2 variables:

tipos de sistema de ecuaciones lineales: sin solución, una solución, infinitas soluciones

Independiente

"Independiente" significa que cada ecuación brinda nueva información.
De lo contrario, son "dependientes".

También se llama "independencia lineal" y "dependencia lineal"

Ejemplo:

  • x + y = 3
  • 2x + 2y = 6
Esas ecuaciones son "dependientes", porque en realidad son la misma ecuación, simplemente una está multiplicada por 2.

Entonces la segunda ecuación no dio nueva información.

Donde las ecuaciones son verdaderas

El truco es encontrar dónde todas las ecuaciones son se cumplen al mismo tiempo.

¿Cumplirse? Qué significa eso?

Nota: cuando una ecuación se cumple a veces también se dice que es verdadera.

Ejemplo: Tú contra un caballo

tú vs caballo (gráfica)

La línea que te representa se cumple en toda su longitud (pero en ninguna otra parte).

En cualquier lugar de esa línea d es igual a 0.2t
  • en t=5 y d=1, la ecuación es verdadera (¿Está en d = 0.2t? Sí, ya que 1 = 0.2×5 es verdad)
  • en t=5 y d=3, la ecuación no es verdadera(¿Está en d = 0.2t? No, ya que 3 = 0.2×5 no es verdad)

De la misma manera, la línea que representa al caballo es verdadera en toda su longitud (pero en ninguna otra parte).

Pero solo en el punto donde se cruzan (en t = 10, d = 2) son ambas verdaderas.

Entonces tienen que ser verdad simultáneamente ...

... por eso algunas personas los llaman "Ecuaciones lineales simultáneas"

Resolver usando álgebra

Es frecuente utilizar Álgebra para resolverlos.

Aquí está el ejemplo del caballo resuelto usando Álgebra:

Ejemplo: Tú contra un caballo

El sistema de ecuaciones es:

  • d = 0.2t
  • d = 0.5(t−6)

En este caso, parece más fácil establecerlos iguales entre sí:

d = 0.2t = 0.5(t−6)

 

Empieza con:0.2t = 0.5(t − 6)
Desarrolla 0.5(t−6):0.2t = 0.5t − 3
Resta 0.5t de ambos lados:−0.3t = −3
Divide ambos lados por −0.3:t = −3/−0.3 = 10 minutos

¡Ahora sabemos cuándo te alcanza!

Sabiendo t podemos calcular d:d = 0.2t = 0.2×10 = 2 km

 

Y nuestra solución es:

t = 10 minutos y d = 2 km

Álgebra vs Gráficas

¿Por qué usar Álgebra cuando las gráficas son tan fáciles? Porque:

Más de 2 variables no se pueden resolver con una gráfica simple.

Entonces el Álgebra viene al rescate con dos métodos populares:
Veremos cada uno, con ejemplos en 2 variables y en 3 variables. Aquí va ...

Resolver por sustitución

Estos son los pasos:

Aquí hay un ejemplo con 2 ecuaciones en 2 variables:

Ejemplo:

  • 3x + 2y = 19
  • x + y = 8
Podemos comenzar con cualquier ecuación y cualquier variable.

Usemos la segunda ecuación y la variable "y" (parece la ecuación más simple).

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

Podemos restar x de ambos lados de x + y = 8 para obtener y = 8 − x. Ahora nuestras ecuaciones se ven así:

  • 3x + 2y = 19
  • y = 8 − x

 

Ahora reemplaza "y" con "8 − x" en la otra ecuación:

  • 3x + 2(8 − x) = 19
  • y = 8 − x

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

Desarrolla 2(8−x):

  • 3x + 16 − 2x = 19
  • y = 8 − x

Luego 3x−2x = x:

  • x + 16 = 19
  • y = 8 − x

Y finalmente 19−16=3

  • x = 3
  • y = 8 − x

 

Ahora que sabemos el valor de x, podemos ponerlo en la ecuación y = 8 x:

  • x = 3
  • y = 8 − 3 = 5

Y la respuesta es:

x = 3
y = 5

 

Nota: debido a que hay una solución, las ecuaciones son "consistentes"

 

Comprobación: ¿por qué no verificas si x = 3 y y = 5 se cumplen en ambas ecuaciones?

 

Resolver por sustitución: 3 ecuaciones en 3 variables

¡Okay! Pasemos a un ejemplo más largo: 3 ecuaciones en 3 variables.

Esto no es difícil de hacer ... ¡solo lleva mucho tiempo!

Ejemplo:

  • x + z = 6
  • z − 3y = 7
  • 2x + y + 3z = 15

Deberíamos alinear las variables ordenadamente, o podemos perder la noción de lo que estamos haciendo:

 

x     + z = 6      
  3y + z = 7      
2x + y + 3z = 15      

 

Podemos comenzar con cualquier ecuación y cualquier variable. Usemos la primera ecuación y la variable "x".

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

x         = 6 − z    
  3y + z = 7      
2x + y + 3z = 15      

 

Ahora reemplaza "x" con "6 − z" en las otras ecuaciones:

(Afortunadamente, solo hay otra ecuación con x)

  x         = 6 − z    
    3y + z = 7      
2(6−z) + y + 3z = 15      

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

2(6−z) + y + 3z = 15 se simplifica a y + z = 3:

x         = 6 − z    
  3y + z = 7      
    y + z = 3      

Bien. Hemos progresado un poco, pero todavía nos falta.

 

Ahora repite el proceso, pero solo para las últimas 2 ecuaciones.

 

Escribe una de las ecuaciones para que tenga el estilo "variable = ...":

Elige la última ecuación y la variable z:

x         = 6 − z    
  3y + z = 7      
        z = 3 − y    

 

Ahora reemplaza "z" con "3 − y" en la otra ecuación:

x         = 6 − z    
  3y + 3 − y = 7      
        z = 3 − y    

 

Resuelve usando los métodos habituales de álgebra:

−3y + (3−y) = 7 se simplifica a −4y = 4, o en otras palabras y = −1

x         = 6 − z    
    y     = −1      
        z = 3 − y    

¡Casi listo!

 

Sabiendo que y = −1 podemos calcular z = 3−y = 4:

x         = 6 − z    
    y     = −1      
        z = 4      

Y sabiendo que z = 4 podemos calcular que x = 6−z = 2:

x         = 2      
    y     = −1      
        z = 4      

 

Y la respuesta es:

x = 2
y = −1
z = 4

 

Comprobación: por favor verifica esto tú mismo.

Podemos usar este método para 4 o más ecuaciones y variables ... simplemente haz los mismos pasos una y otra vez hasta que se resuelva.

Conclusión: la sustitución funciona bien, pero lleva mucho tiempo hacerla.

 

Resolver por eliminación

La eliminación puede ser más rápida ... pero debe mantenerse ordenada.

"Eliminar" significa remover: este método funciona eliminando variables hasta que solo quede una.

La idea es que podamos:
Como en estos ejemplos:

método eliminación

¿POR QUÉ podemos sumar ecuaciones entre sí?

Imagina dos ecuaciones realmente simples:

x − 5 = 3
5 = 5

Podemos sumar "5 = 5" a "x − 5 = 3":

x − 5 + 5 = 3 + 5
x = 8

Inténtalo tú mismo pero usa 5 = 3 + 2 como la segunda ecuación

Funcionará bien, porque ambos lados son iguales (para eso está el signo =)

 

También podemos intercambiar ecuaciones, por lo que la primera podría convertirse en la segunda, etc., si eso ayuda.

 
OK, es hora de un ejemplo completo. Usemos las 2 ecuaciones de 2 variables del ejemplo de antes:

Ejemplo:

  • 3x + 2y = 19
  • x + y = 8

Muy importante para mantener las cosas ordenadas:

3x + 2y = 19      
x + y = 8      

 

Ahora ... nuestro objetivo es eliminar una variable de una ecuación.

Primero vemos que hay un "2y" y una "y", así que trabajemos en eso.

Multipliquemos la segunda ecuación por 2:
3x + 2y = 19      
2x + 2y = 16      

Restemos la segunda ecuación de la primera ecuación:

x     = 3      
2x + 2y = 16      

¡Hurra! ¡Ahora sabemos cuánto es x!

 

A continuación, vemos que la segunda ecuación tiene "2x", así que dividamos a la mitad y luego restemos "x":

Multipliquemos la segunda ecuación por ½ (es decir, dividir por 2):
x     = 3      
x + y = 8      

Restemos la primera ecuación de la segunda ecuación:

x     = 3      
    y = 5      
¡LISTO!

Y la respuesta es:

x = 3 y y = 5

 

Y aquí está la gráfica:

Gráfica de (19-3x)/2 vs 8-x

La línea azul es donde 3x + 2y = 19 se cumple

La línea roja es donde x + y = 8 se cumple

En x = 3, y = 5 (donde se cruzan las líneas) ambas se cumplen. Ésa es la respuesta.

Aquí hay otro ejemplo:

Ejemplo:

  • 2x − y = 4
  • 6x − 3y = 3

Pongamos todo ordenadamente:

2x y = 4      
6x 3y = 3      

Multipliquemos la primera ecuación por 3:

6x 3y = 12      
6x 3y = 3      

Restemos la segunda ecuación de la primera:

0 0 = 9      
6x 3y = 3      

0 − 0 = 9 ???

¿Qué está pasando aquí?

 

En pocas palabras, no hay solución.

 

En realidad son líneas paralelas:   gráfica de dos rectas paralelas

Y por último:

Ejemplo:

  • 2x − y = 4
  • 6x − 3y = 12

Ordenamos:

2x y = 4      
6x 3y = 12      

Multiplicamos la primera ecuación por 3:

6x 3y = 12      
6x 3y = 12      

Restamos la segunda ecuación de la primera:

0 0 = 0      
6x 3y = 3      

0 − 0 = 0

Bueno, ¡eso es realmente VERDADERO! Cero es igual a cero ...

 

... eso es porque son realmente la misma ecuación ...

 

... así que hay un número infinito de soluciones

Son la misma línea:   gráfica de dos rectas superpuestas

Y ahora hemos visto un ejemplo de cada uno de los tres casos posibles:

Resolviendo por eliminación: 3 ecuaciones en 3 variables

Antes de comenzar con el siguiente ejemplo, veamos una forma mejorada de hacer las cosas.

Si seguimos este método es menos probable que cometamos un error.

En primer lugar, eliminamos las variables en orden:

Así es como las eliminamos:

método eliminación

Entonces tenemos esta "forma triangular":

método eliminación

Ahora comenzamos en la parte inferior y trabajamos de nuevo hacia arriba
(ponemos z para encontrar y, luego z y y para encontrar x):

método eliminación

Y lo tenemos solucionado:

método eliminación

TAMBIÉN, encontraremos que es más fácil hacer algunos de los cálculos en la cabeza, o en un pedacito papel, en lugar de trabajar siempre dentro del conjunto de ecuaciones:

Ejemplo:

  • x + y + z = 6
  • 2y + 5z = −4
  • 2x + 5y − z = 27

Escrito de forma ordenada:

x + y + z = 6      
    2y + 5z = −4      
2x + 5y z = 27      

 

Primero, eliminamos x de la segunda y tercera ecuación.

No hay x en la segunda ecuación ... pasamos a la tercera ecuación:

Restamos 2 veces la 1ra ecuación de la 3ra ecuación (solo hacemos esto en la cabeza o en papel):

método eliminación

Y obtenemos:

x + y + z = 6      
    2y + 5z = −4      
    3y 3z = 15      

 

Luego, eliminamos y de la 3a ecuación.

Podríamos restar 1½ veces la segunda ecuación de la tercera ecuación (porque 1½ por 2 es 3) ...

... pero podemos evitar fracciones si:
  • multiplicamos la 3a ecuación por 2 y
  • multiplicamos la 2da ecuación por 3

y luego hacemos la resta ... así:

método eliminación

Y terminamos con:

x + y + z = 6      
    2y + 5z = −4      
        z = −2      

¡Ahora tenemos esa "forma de triángulo"!

 

Ahora vamos de vuelta "sustituyendo hacia atrás":

Conocemos el valor de z, así que 2y+5z=−4 se convierte en 2y−10=−4, luego 2y=6, por lo que y=3:

x + y + z = 6      
    y     = 3      
        z = −2      

Después x+y+z=6 se convierte en x+3−2=6, de modo que x=6−3+2=5

x         = 5      
    y     = 3      
        z = −2      

 

Y la respuesta es:

x = 5
y = 3
z = −2

 

Comprobación: por favor verifica tú mismo :)

Consejos generales

Una vez que te acostumbras al Método de Eliminación, es más fácil que la Sustitución, porque solo sigues los pasos y aparecen las respuestas.

Pero a veces la sustitución puede dar un resultado más rápido.
Y siempre vale la pena mirar primero las ecuaciones, para ver si hay un atajo fácil ... así que la experiencia ayuda.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).