Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal es una ecuación para una línea recta
Éstas son todas las ecuaciones lineales:
y = 2x + 1 | ||
5x = 6 + 3y | ||
y/2 = 3 − x |
Veamos más de cerca un ejemplo:
Ejemplo: y = 2x + 1 es una ecuación lineal:
La gráfica de y = 2x+1 es una línea recta
- Cuando x aumenta, y aumenta el doble de rápido, por lo que necesitamos 2x
- Cuando x es 0, y es 1. Así que necesitamos poner +1
- De esta manera: y = 2x + 1
Aquí hay algunos valores de ejemplo:
x | y = 2x + 1 |
---|---|
-1 | y = 2 × (-1) + 1 = -1 |
0 | y = 2 × 0 + 1 = 1 |
1 | y = 2 × 1 + 1 = 3 |
2 | y = 2 × 2 + 1 = 5 |
¡Comprueba tú mismo que esos puntos son parte de la línea de arriba!
Formas diferentes
Hay muchas formas de escribir ecuaciones lineales, pero generalmente tienen constantes (como "2" o "c") y deben tener variables simples (como "x" o "y").
Ejemplos: éstas son ecuaciones lineales:
y = 3x − 6 | ||
y − 2 = 3(x + 1) | ||
y + 2x − 2 = 0 | ||
5x = 6 | ||
y/2 = 3 |
Pero las variables (como "x" o "y") en ecuaciones lineales NO tienen:
- Exponentes (como el 2 en x2)
- Raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc
Ejemplos: éstas NO son ecuaciones lineales:
y2 − 2 = 0 | ||
3√x − y = 6 | ||
x3/2 = 16 |
Forma pendiente-ordenada
La forma más común es la de la ecuación de la recta pendiente-ordenada:
Pendiente (o Gradiente) | Ordenada
a origen (o intersección con el eje y) |
Ejemplo: y = 2x + 1
- Pendiente: m = 2
- Ordenada: b = 1
¡Juega!Puedes ver el efecto de diferentes valores de m y b en Explora la gráfica de una línea recta |
Forma punto-pendiente
Otra que es muy común es la Forma Punto-Pendiente de la ecuación de la línea recta:
y − y1 = m(x − x1) |
Ejemplo: y − 3 = (¼)(x − 2)
Está en la forma y − y1 = m(x − x1) donde:
- y1 = 3
- m = ¼
- x1 = 2
Forma general
Y también está la Forma General de la ecuación de la línea recta:
Ax + By + C = 0 |
(A y B no pueden ser ambos 0) |
Ejemplo: 3x + 2y − 4 = 0
Está en la forma Ax + By + C = 0 donde:
- A = 3
- B = 2
- C = −4
Hay otras formas menos comunes también.
Como función
A veces una ecuación lineal se escribe como una función, con f(x) en lugar de y:
y = 2x − 3 |
f(x) = 2x − 3 |
¡Son lo mismo! |
Y las funciones no siempre se escriben usando f(x):
y = 2x − 3 |
w(u) = 2u − 3 |
h(z) = 2z − 3 |
¡También son lo mismo! |
La función identidad
Hay una función lineal especial llamada "Función identidad":
f(x) = x
Y aquí está su gráfica:
Hace un ángulo de 45° (su pendiente es 1)
Se llama "Identidad" porque lo que sale es idéntico a lo que entra:
Entra | Sale |
---|---|
0 | 0 |
5 | 5 |
−2 | −2 |
...etc | ...etc |
Funciones constantes
Otro tipo especial de función lineal es la Función Constante ... es una línea horizontal:
f(x) = C
No importa cuál sea el valor de "x", f(x) será siempre igual a algún valor constante.
Using Linear Equations
Es posible que desees leer algunas de las cosas que se pueden hacer con las rectas:
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).