Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares

En esta página usaremos Álgebra para hallar rectas paralelas y perpendiculares.

Líneas paralelas

¿Cómo sabemos cuando dos líneas son paralelas?

¡Sus pendientes son iguales!

La pendiente es el valor m en la ecuación de la recta:

y = mx + b

  Forma Pendiente-Ordenada

 

gráfica

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la línea que es:

  • paralela a y = 2x + 1
  • y que pasa por el punto (5,4)

 

La pendiente de y=2x+1 es: 2

La línea paralela debe tener la misma pendiente de 2.

 

Podemos encontrarla usando la ecuación de la recta "punto-pendiente":

y − y1 = 2(x − x1)

Y luego poner el punto (5,4):

y − 4 = 2(x − 5)

 

Y esa respuesta está bien, pero también pongámosla en la forma y = mx + b:

y − 4 = 2x − 10

y = 2x − 6

Líneas verticales

Pero esto no funciona para líneas verticales ... Te explico porqué al final.

No es la misma línea

¡Ten cuidado! Pueden ser la misma línea (pero con una ecuación diferente), por lo que no son paralelas.

¿Cómo sabemos si realmente son la misma línea? Verifica sus intersecciones en el eje y (la ordenada al origen) así como su pendiente:

Ejemplo: ¿es y = 3x + 2 paralela a y − 2 = 3x?

Para y = 3x + 2: la pendiente es 3, y la ordenada al origen es 2

Para y − 2 = 3x: la pendiente es 3, y la ordenada al origen es 2

De hecho, son la misma línea por lo que no son paralelas

Líneas perpendiculares

Dos líneas son perpendiculares cuando se encuentran en ángulo recto (90°).

Para encontrar una pendiente perpendicular:

Cuando una línea tiene pendiente m, una línea perpendicular tiene pendiente −1m

En otras palabras, es el recíproco negativo

gráfica

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la línea que es

  • perpendicular a y = −4x + 10
  • y que pasa por (7,2)

 

La pendiente de y=−4x+10 es: −4

El recíproco negativo de esa pendiente es:

m = −1−4 = 14

Entonces la línea perpendicular tendrá una pendiente de 1/4:

y − y1 = (1/4)(x − x1)

Y ahora sustituimos el punto (7,2):

y − 2 = (1/4)(x − 7)

 

Y esa respuesta está bien, pero también pongámosla en la forma "y = mx + b":

y − 2 = x/4 − 7/4

y = x/4 + 1/4

Comprobación rápida de perpendicularidad

Cuando multiplicamos una pendiente m por su pendiente perpendicular −1m se obtiene −1.

Entonces, para verificar rápidamente si dos líneas son perpendiculares:

Cuando multiplicamos sus pendientes, obtenemos −1

De esta forma:

gráfica de y=2x+1, y=-0.5x+4

¿Son estas dos líneas perpendiculares?

Línea Pendiente
y = 2x + 1 2
y = −0.5x + 4 −0.5

Cuando multiplicamos las dos pendientes obtenemos:

2 × (−0.5) = −1

Sí, tenemos −1, por lo que son perpendiculares.

Líneas verticales

Los métodos anteriores funcionan bien, excepto para líneas verticales:

gráfica de una recta vertical

 

En este caso el gradiente no está definido (puesto que no podemos dividir entre 0):

m = yA − yBxA − xB = 4 − 12 − 2 = 30 = indefinido


Tan solo confía en el hecho de que:

Resumen

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).