Teorema del Binomio

Un binomio es un polinomio con dos términos

Binomio
ejemplo de un binomio

¿Qué sucede cuando multiplicamos un binomio por sí mismo ... muchas veces?

Ejemplo: a+b

a+b es un binomio (los dos términos son a y b)

Multipliquemos a+b por sí mismo usando Multiplicación de Polinomios:

(a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2

Ahora usemos ese resultado y multipliquemos otra vez por a+b:

(a2 + 2ab + b2)(a+b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Y otra vez:

(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Los cálculos se hacen cada vez más largos a medida que avanzamos, pero hay algún tipo de patrón desarrollándose.

Ese patrón se resume en el Teorema del Binomio:

Teorema del Binomio
El Teorema del Binomio

No te preocupes ... ¡todo será explicado!

Y aprenderás muchos símbolos matemáticos geniales en el camino.

Exponentes

8 a la potencia 2

Primero, un resumen de los exponentes.

Un exponente dice cuántas veces usar algo en una multiplicación.

Ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

Un exponente de 1 significa que solo aparece una vez, para que obtengamos el valor original:

Ejemplo: 81 = 8

Un exponente de 0 significa no usarlo en absoluto, por lo que solo nos queda el número 1:

Ejemplo: 80 = 1

Exponentes de (a+b)

Ahora vamos con el binomio.

Usaremos el binomio más simple a+b, pero podríamos usar cualquier binomio.

Comencemos con el exponente 0 y construyamos hacia arriba.

Exponente 0

Cuando el exponente es 0, obtenemos 1:

(a+b)0 = 1

Exponente 1

Cuando el exponente es 0, obtenemos el valor original, sin modificaciones:

(a+b)1 = a+b

Exponente 2

El exponente 2 significa multiplicar por sí mismo (mira Cómo Multiplicar Polinomios):

(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2

Exponente 3

Para el exponente 3 solo vuelve a multiplicar:

(a+b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a+b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

Ahora tenemos suficiente para comenzar a hablar sobre el patrón.

El Patrón

En el último resultado obtuvimos:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ahora, observa los exponentes de a. Empiezan en 3 y van disminuyendo: 3, 2, 1, 0:

a va elevado a las potencias 3,2,1,0

De manera similar, los exponentes de b van en aumento: 0, 1, 2, 3:

b va elevado a las potencias 0,1,2,3

Si numeramos los términos de 0 a n, obtenemos esto:

k=0 k=1 k=2 k=3
a3 a2 a 1
1 b b2 b3

Lo que se puede juntar en esto:

an-kbk

¿Qué tal un ejemplo para ver cómo funciona?

Ejemplo: Cuando el exponente, n, es 3.

Los términos son:

k=0: k=1: k=2: k=3:
  an-kbk
= a3-0b0
= a3
  an-kbk
= a3-1b1
= a2b
  an-kbk
= a3-2b2
= ab2
  an-kbk
= a3-3b3
= b3

¡Funciona como magia!

Coeficientes

Por ahora tenemos: a3 + a2b + ab2 + b3
Pero en realidad buscamos:a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Nos faltan los números (que se llaman coeficientes).

Veamos todos los resultados que obtuvimos antes, desde (a+b)0 hasta (a+b)3:

1, a+b, a^2 + 2ab + b^2, a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Y ahora mira solo los coeficientes (con un "1" donde no se escribió un coeficiente):

1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1

¡Esos números en realidad forman el Triángulo de Pascal!

Cada número son solo los dos números que se encuentran arriba sumados (excepto los bordes, que son todos "1")

(Aquí he resaltado que 1+3 = 4)

triángulo de Pascal

Armados con esta información, intentemos algo nuevo ... un exponente 4:

para a los exponentes van 4,3,2,1,0:   a4 + a3 + a2 + a + 1  
para b los exponentes van 0,1,2,3,4:   a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4  
y los coeficientes van 1,4,6,4,1:   a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 sí

Y esa es la respuesta correcta (compárese con la parte superior de la página).

¡Lo hemos logrado!

Ahora podemos usar ese patrón para exponentes como 5, 6, 7, ... 50, ... 112, ... ¡lo que sea!

 

Ese patrón es la esencia del Teorema del Binomio.

Ahora puedes tomarte un descanso.

Cuando regreses intenta calcular (a+b)5 por ti mismo.

Respuesta (pasa el cursor encima): a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Mediante una Fórmula

Nuestra siguiente tarea es escribirlo todo como una fórmula.

Ya tenemos los exponentes resueltos:

an-kbk

Pero, ¿cómo escribimos una fórmula para "encuentra el coeficiente del Triángulo de Pascal"...?

Bueno, ya existe una fórmula así:

n en k = n! / k!(n-k)!

Comúnmente se conoce como "n en k" y representa de cuántas maneras diferentes podemos elegir k elementos de un conjunto de n elementos.

El "!" se lee como "factorial", por ejemplo 4! = 4×3×2×1 = 24

Puedes leer más en Combinaciones y Permutaciones.

Y coincide con el Triángulo de Pascal así:

(Observa cómo la fila superior es la fila cero
¡y también la columna más a la izquierda es cero!)

Combinaciones del Triángulo de Pascal

Ejemplo: Fila 4, término 2 en el Triángulo de Pascal es "6".

Veamos si la fórmula funciona:

4 en 2 = 4! / 2!(4-2)!

¡Sí, funciona! Prueba otro valor por ti mismo.

Poniéndolo todo junto

El último paso es poner todos los términos juntos en una fórmula.

Pero estamos agregando muchos términos juntos ... ¿se puede hacer eso usando una fórmula?

¡Sí! La práctica Notación Sigma nos permite resumir tantos términos como queramos:


Notación Sigma
Notación Sigma

Ahora todo puede ir en una fórmula:

Teorema del Binomio
El Teorema del Binomio

Úsalo

OK ... no tendrá mucho sentido sin un ejemplo.

Así que intentemos usarlo para n = 3:

Teorema del Binomio (exponente 3)

PERO ... generalmente es mucho más fácil recordar los patrones:

Así:

Ejemplo: Desarrolla (y+5)4

 

Empieza con los exponentes: y450 y351 y252 y153 y054
Incluye los coeficientes: 1y450 4y351 6y252 4y153 1y054

 

Luego, escribe la respuesta (incluidos todos los cálculos, como 4×5, 6×52, etc.):

(y+5)4 = y4 + 20y3 + 150y2 + 500y + 625

 

También podemos querer calcular solo un término:

Ejemplo: ¿Cuál es el coeficiente de x3 en (2x+4)8 ?

Los exponentes de x3 son 8-5 (=3) para el "2x" y 5 para el "4":

(2x)345

(¿Por qué? He aquí el porqué:

2x: 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
  (2x)840 (2x)741 (2x)642 (2x)543 (2x)444 (2x)345 (2x)246 (2x)147 (2x)048

Pero no necesitamos calcular todos los demás valores si solo queremos un término).

 

Y no olvidemos "8 en 5" ... podemos usar el Triángulo de Pascal, o calcular directamente:

n!k!(n-k)! = 8!5!(8-5)! = 8!5!3! = 8×7×63×2×1 = 56

Y obtenemos:

56(2x)345

Lo que se simplifica a:

458752 x3

Un coeficiente grande, ¿no?

Geometría

El Teorema del Binomio puede representarse de forma geométrica:

En 2 dimensiones, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

 

En 3 dimensiones, (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

 

En 4 dimensiones, (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(Lo siento, ¡no soy bueno dibujando en 4 dimensiones!)

Ejemplo Avanzado

Y un último, y sorprendente, ejemplo:

Ejemplo: Una fórmula para e (el Número de Euler)

Podemos usar el Teorema del Binomio para calcular e (el número de Euler).

e = 2.718281828459045... (los dígitos continúan para siempre sin repetir)

Se puede calcular usando:

(1 + 1/n)n

(Se vuelve más preciso cuanto mayor es el valor de n)

 

Esa fórmula es un binomio, ¿cierto? Así que usemos el Teorema del Binomio:

(1 + 1/n)^n = Suma desde k=0 a n de [ (n en k) by 1^(n-k) por (1/n)^k ]

Primero, podemos quitar 1n-k ya que siempre es igual a 1:

Sigma k=0 a n de [ (n en k) por (1/n)^k ]

Y, mágicamente, la mayor parte de lo que queda se acerca a 1 a medida que n va al infinito:

pasos para simplificar, en detalle

De lo cual se sigue que:

Sigma k=0 a infinito de 1/k! = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...

 

Con solo esos primeros términos obtenemos e ≈ 2.7083...

¡Intenta calcular más términos para una mejor aproximación! (Prueba la Calculadora Sigma)

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 
Challenging 1 Challenging 2

Isaac Newton

Como nota, vale la pena mencionar que alrededor de 1665, Sir Isaac Newton ideó una versión "general" de la fórmula que no se limita a exponentes de 0, 1, 2 ... Espero escribir sobre eso algún día.