El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.

Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

   

Pautas en el triángulo

Diagonales

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)

La tercera diagonal son los números triangulares

(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble!

Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)

Pascal's Triangle Symmetry

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
1 H
T
1, 1
2 HH
HT TH
TT
1, 2, 1
3 HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT
1, 3, 3, 1
4 HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT
1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1

Los chinos ya lo conocían

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete cuadrados multiplicadores". Ver imagen completa

Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en 1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes.

El quincunce

Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.

Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores.
Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.