Funciones Continuas

Una función es continua cuando su gráfica es una única curva ininterrumpida ...

lápiz... que podrías dibujar sin levantar el bolígrafo del papel.

Esa no es una definición formal, pero ayuda a comprender la idea.

Aquí hay una función continua:

x^4-2x^2+x

Ejemplos

Entonces, ¿qué no es continuo (también llamado discontinuo)?

Busca agujeros, saltos o asíntotas verticales (donde la función se dirige hacia arriba/abajo hacia el infinito).

no continua   salto   asíntota
No Continua
  No Continua
  No Continua
(hueco)   (salto)   (asíntota vertical)

Prueba estas diferentes funciones para que te hagas una idea:

(Usa el control deslizante para hacer zoom, arrastra el gráfico para reposicionar y haz clic en el gráfico para volver a centrarlo).

Dominio

dominio y rango

Toda función tiene un Dominio.

En su forma más simple, el dominio son todos los valores que entran en una función.

Es posible que podamos elegir un dominio que haga que la función sea continua.

 

Ejemplo: 1/(x–1)

En x=1 se tiene:

1/(1–1) = 1/0 = indefinido

Entonces hay una "discontinuidad" en x=1

asíntota f(x) = 1/(x-1)
f(x) = 1/(x–1)


Por lo tanto, f(x) = 1/(x–1) en todos los números reales NO es continuo

 

Cambiemos el dominio a x>1

asíntota, excluir una parte
g(x) = 1/(x–1) para x>1

Así, g(x) SÍ es continua

 

En otras palabras, g(x) no incluye el valor x=1, por lo que es continua.

Cuando una función es continua dentro de su dominio, es una función continua.

¡Formalidad!

Podemos definir continuidad usando Límites (ayuda leer esa página primero):

Una función f es continua cuando, para cada valor c en su dominio:

f(c) está definida,

y

limx→cf(x) = f(c)

"el límite de f(x) cuando x se acerca a c es igual a f(c)"

El límite dice:

"a medida que x se acerca cada vez más a c
se tiene que f(x) se acerca cada vez más a f(c)"

Y tenemos que comprobar desde ambas direcciones:

cuando x se acerca a c (desde la izquierda)
tenemos que f(x) se aproxima a f(c)
  límite continuo
     
Y
cuando x se acerca a c (desde la derecha)
tenemos que f(x) se aproxima a f(c)
  límite continuo

Si obtenemos valores diferentes por la izquierda y la derecha (un "salto"), ¡entonces el límite no existe!

Y recuerde que esto tiene que ser cierto para todos los valores c del dominio.

Cómo se usa:

Asegúrate que para todos los valores de x se cumpla que:

Aquí hay algunos ejemplos:

Ejemplo: f(x) = (x2–1)/(x–1) para todos los Números Reales

gráfica (x^2-1)/(x-1) hueco

La función está indefinida en x=1:

(x2–1)/(x–1) = (12–1)/(1–1) = 0/0

Entonces no es una función continua.

Cambiemos el dominio.

Ejemplo: g(x) = (x2–1)/(x–1) en el intervalo x<1

Es casi la misma función, pero ahora se encuentra en un intervalo que no incluye x = 1.

Entonces ahora es una función continua (no incluye el "agujero")

Ejemplo: ¿Qué tal esta función definida por partes?

h(x) = { 2 si x<=1,  x si x>1 }

la cual se ve así:

función continua con salto

Está definida en x = 1, porque h(1)=2 (sin "agujero")

Pero en x=1 no se puede decir cuál es el límite, porque hay dos respuestas en competencia:

entonces, de hecho, el límite no existe en x=1 (hay un "salto")

Y entonces la función no es continua.

Pero:

Ejemplo: ¿Qué hay de la función valor absoluto, la cual también está definida por partes?

función valor absoluto

función valor absoluto

¡En x=0 tiene un cambio muy puntiagudo!

Pero todavía está definida en x=0, porque f(0)=0 (por lo que no hay "agujero"),

Y el límite cuando te acercas a x=0 (desde cualquier lado) también es 0 (por lo que no hay "salto"),

Entonces, de hecho, es continua.

(Pero no lo es diferenciable).