Diferenciable
Diferenciable quiere decir que la derivada existe ...
Ejemplo: ¿x2 + 6x es diferenciable?
Las Reglas de Derivación nos
dicen que la derivada de x2 es 2x y la derivada de x es 1,
entonces:
Su derivada es 2x + 6
¡En efecto! x2 + 6x sí es diferenciable.
... y debe existir para cada valor en el dominio de la función.
DominioEn su forma más simple, el dominio son |
Ejemplo (continuación)
Cuando no se indica, asumimos que el dominio son los Números Reales.
En el caso de x2 + 6x, su derivada 2x + 6
existe para todos los números reales.
Entonces todavía estamos a salvo: x2 + 6x es diferenciable.
Pero qué tal....
Ejemplo: La función f(x) = |x| (valor absoluto):
|x| se ve así: |
¡En x=0 es puntiaguda!
¿Existe la derivada en x=0?
Prueba
Podemos probar cualquier valor "c" para ver si el límite existe:
lim h→0 f(c+h) − f(c) h
Ejemplo (continuación)
Calculemos el límite para |x| en el valor 0:
¡El límite no existe! Para ver por qué, comparemos los límites del lado izquierdo y derecho:
Los límites son diferentes en ambos lados, por lo que el límite no existe.
Entonces la función f (x) = |x| no es diferenciable
Una buena forma de imaginarse esto en tu mente es pensar:
Al acercarme haciendo zoom, ¿la función tiende a convertirse en una línea recta?
La función de valor absoluto permanece puntiaguda incluso cuando se amplía.
Otras razones
Aquí hay algunos ejemplos más:
Las Funciones de Parte Entera (Piso y Techo) no son diferenciables en valores enteros, ya que hay una discontinuidad en cada salto. Pero son diferenciables en los demás valores. |
La función raíz cúbica x(1/3) Su derivada es (1/3)x−(2/3) (por la Regla General de las Potencias) En x=0 la derivada no está definida, por lo tanto x(1/3) no es diferenciable. |
En x=0 la función no está definida por lo que
no tiene sentido preguntar si es diferenciable allí. ¡Para ser diferenciable en un punto determinado, la función debe primero estar definida en él! |
A medida que nos dirigimos hacia x=0, la función se mueve hacia arriba y hacia abajo cada vez más rápido, por lo que no podemos encontrar un valor al cual "se dirige". |
Diferente dominio
¡Podemos cambiar el dominio!
Ejemplo: La función g (x) = |x| con dominio (0,+∞)
El dominio es de 0 en adelante pero sin incluir al 0 (es decir, todos los valores positivos).Y SÍ ES diferenciable.
Y estoy "absolutamente seguro" sobre eso :)
Así que la función g(x) = |x| con dominio (0,+∞) es diferenciable.
También podríamos restringir el dominio de otras formas para evitar x=0 (por ejemplo: todos los números reales negativos, todos los números reales distintos de cero, etc.).
¿Por qué es relevante esto?
Porque cuando una función es diferenciable podemos utilizar todo el poder del cálculo al trabajar con ella.
Continua
Cuando una función es diferenciable también es continua.
Diferenciable ⇒ Continua
Pero una función puede ser continua pero no diferenciable. Por ejemplo, la función de valor absoluto es en verdad continua (pero no diferenciable) en x=0.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).