Introducción al Cálculo

El cálculo estudia aquello que cambia.

rapidómetro

Joel y Luis viajan en el auto ... pero el rapidómetro no funciona.
Luis:

"¡Hey, Joel! ¿Qué tan rápido vamos ahora?"

Joel:

"Espera un minuto ..."

"Pues en el último minuto avanzamos 1.2 km, así que vamos a"

1.2 km por minuto x 60 minutos en una hora = 72 km/h

Luis:

"¡No, Joel! No quiero saber nuestro promedio para el último minuto, ni siquiera para el último segundo, quiero saber nuestra rapidez AHORA MISMO."

Joel:

"Está bien, vamos a medirla aquí ... en esta señal de tráfico ... ¡AHORA!"

camino

"OK, estuvimos en la señal durante cero segundos, y la distancia fue ... ¡cero metros!"

La rapidez es 0m / 0s = 0/0 = ¡No lo sé!

"¡No puedo calcularlo, Luis! Necesito conocer una distancia recorrida durante algún intervalo de tiempo, pero tú estás diciendo que el tiempo fue cero. Así no se puede calcular".

 

Eso es bastante sorprendente ... uno pensaría que es fácil calcular la rapidez de un automóvil en cualquier momento, pero no lo es.

Incluso el rapidómetro de un automóvil solo nos muestra un promedio de qué tan rápido íbamos durante el último (muy corto) periodo de tiempo.

Qué tal acercarse lo más posible

¡Pero nuestra historia aún no ha terminado!

Joel y Luis se bajan del coche, porque han llegado a su destino. Joel está a punto de hacer una acrobacia:

salto t=1  

Joel hará un salto desde un edificio de 20 m.

Luis, como fotógrafo, pregunta:

"¿Qué tan rápido estarás cayendo después 1 segundo?"

Joel usa esta fórmula simplificada para encontrar la distancia recorrida durante la caída:

d = 5t2

(Nota: la fórmula es una versión simplificada de qué tan rápido caen las cosas debido a la gravedad: d = ½gt2)

Ejemplo: en 1 segundo Joel ha caído

d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m

Pero, ¿qué tan rápido es eso? La rapidez es distancia sobre tiempo:

Rapidez = distanciatiempo

Entonces en 1 segundo:

Rapidez = 5 m1 segundo = 5 m/s

"PERO", dice Luis, "nuevamente esa es una rapidez promedio, desde que comenzaste el salto, ... quiero saber la rapidez exactamente en 1 segundo, para poder configurar la cámara correctamente".

salto de t=1 a t=1

 

Bueno ... exactamente a 1 segundo la rapidez es:

Rapidez = 5 − 5 m1 − 1 s = 0 m0 s = ???

Así que de nuevo Joel tiene un problema.

Piénsalo ... ¿cómo calculamos una rapidez en un instante exacto en el tiempo?

¿Cuál es la distancia? ¿Cuál es la diferencia horaria?

Ambos son cero, ¡no nos da nada con qué calcular!

Pero Joel tiene una idea ... definir un tiempo tan corto que no importará.

Joel ni siquiera le dará un valor, y simplemente lo llamará "Δt" (se lee "delta t").

Entonces Joel calcula la diferencia de distancia entre t y t+Δt

En 1 segundo Joel ha caído

5t2 = 5 × (1)2 = 5 m

 

En (1+Δt) segundos Joel ha caído

5t2 = 5 × (1+Δt)2 m

 

Podemos desarrollar (1+Δt)2:

(1+Δt)2= (1+Δt)(1+Δt)
 = 1 + 2Δt + (Δt)2

 

Entonces en (1+Δt) segundos Joel ha caído

d= 5 × (1+2Δt+(Δt)2) m
d= 5 + 10Δt + 5(Δt)2 m

 

salto de t=1 a t=1 + delta t

 

En resumen:

En 1 segundo:d = 5 m
En (1+Δt) segundos:d = 5 + 10Δt + 5(Δt)2 m

 

Entonces entre 1 segundo y (1+Δt) segundos se tiene:

Cambio en d= 5 + 10Δt + 5(Δt)2 − 5 m

 

Cambio en distancia sobre tiempo:

Rapidez = 5 + 10Δt + 5(Δt)2 − 5 m Δt s
  = 10Δt + 5(Δt)2 m Δt s
 = 10 + 5Δt m/s

 

Así que la rapidez es 10 + 5Δt m/s, y Joel reflexiona acerca de ese valor Δt ... como él quiere que Δt sea tan pequeño que no importa ... entonces se imagina que se aproxima hacia cero y obtiene:

 

Rapidez = 10 m/s

 

¡Genial! ¡Joel tiene una respuesta!

 

Joel: "Estaré cayendo a 10 m/s"

Luis: "Pensé que habías dicho que no podías calcularlo."

Joel: "¡Eso fue antes de que usara Cálculo!"

 

Sí, de hecho, eso fue Cálculo.

piedras pequeñas

La palabra Cálculo proviene del latín y significa "piedra pequeña".

· Cálculo Diferencial corta algo en trozos pequeños para descubrir cómo cambia.

· Cálculo Integral une (integra) las piezas pequeñas para encontrar cuánto hay.

 

Y el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral son como inversos entre sí, similar a la manera en la que la multiplicación y la división son inversas, pero eso es algo que descubriremos más adelante.

 
Joel usó el Cálculo Diferencial para reducir el tiempo y la distancia en pedazos tan pequeños que salió una respuesta pura.

 
Entonces ... ¿el resultado de Joel fue solo suerte? ¿Funciona para otras cosas?

Intentemos hacer esto para la función y = x3

Esto será muy similar al ejemplo anterior, pero será solo una pendiente en una gráfica, ¡nadie tiene que saltar para este ejemplo!

gráfica de x^3

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente de la función y = x3 en x=1 ?

 

En x = 1:y = 13 = 1
En x = (1+Δx):y = (1+Δx)3


Podemos desarrollar (1+Δx)3 = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3, y se obtiene:

y = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

Y la diferencia entre los valores de y de x = 1 a x = 1+Δx es:

Cambio en y = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 − 1
 = 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

Ahora calculamos la pendiente

Pendiente= 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 Δx
 = 3 + 3Δx + (Δx)2

 

Una vez más, a medida que Δx se aproxima hacia cero nos quedamos con:

Pendiente = 3

 

gráfica x^3, pendiente en (1, 1)

Y aquí vemos la gráfica de y = x3

La pendiente cambia continuamente, pero en el
punto (1,1) podemos dibujar una línea tangente a la curva

y encontrar que la pendiente realmente es 3.

(¡Cuenta los cuadrados si quieres!)

Pregunta para ti: ¿cuál es la pendiente en el punto (2, 8)?

¡Inténtalo tú mismo!

Ve a la Página sobre la Pendiente de una Función, pon la fórmula "x^3", luego intenta encontrar la pendiente en el punto (1,1).

Acércate cada vez más y mira hacia qué valor se dirige la pendiente.

Conclusión

El cálculo trata sobre el cambio.

El cálculo diferencial corta algo en trozos pequeños para descubrir cómo cambia.

El cálculo integral une (integra) las piezas pequeñas para encontrar cuánto hay.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 
Pendiente de una Función Índice de Cálculo