Límites en el infinito
Primero deberías leer límites (una introducción)
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El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. |
Uno entre infinito
Empecemos por un ejemplo interesante.
| Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1 ∞ ? |
| Respuesta: ¡No lo sabemos! |
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.
Así que 1 ∞ es
un poco como decir 1 belleza
o 1 alto .
A lo mejor podríamos decir que 1 ∞ = 0 ... pero eso es un
poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta
que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1 ∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!
Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
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Vemos que cuando x crece, 1 x
tiende a 0.
Ahora tenemos una situación interesante:
- No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
- Pero vemos que 1 x va hacia 0
Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto
El límite de 1 x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
Resumen
A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
| Lo que pasa en ∞ es indefinido... | 1 ∞ |  |
| ... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito | |
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Límites al infinito
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a infinito?
y = 2x
Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":
| x | y = 2x |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 8 |
| 10 | 20 |
| 100 | 200 |
| ... | ... |
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:
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Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite). |
Infinito y grado
Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
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Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2, etc. |
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Una función como x va hacia infinito, al igual que 2x o x/9, etc. Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito |
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Pero ten cuidado, una función como "−x" va hacia "−infinito", así que hay que fijarse en los signos de x. |
Ejemplo: 2x2−5x
- 2x2 se aproxima a +infinito
- −5x se aproxima a −infinito
- Pero x2 crece más rápido que x, así que 2x2−5x irá hacia +infinito
De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.
Si el grado de la función es:
- mayor que 0, el límite es infinito (o −infinito)
- menor que 0, el límite es 0
Funciones racionales
| Una función racional es el cociente de dos polinomios: |  |
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| Por ejemplo, aquí tenemos P(x) = x3+2x−1, y Q(x) = 6x2: |  |
Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...
Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):
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... el límite es 0. |
... divide los coeficientes de los términos con el grado más grande, así:
(ten en cuenta que los mayores exponentes serán iguales, ya que el grado es igual).
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... entonces el límite es infinito positivo ... |
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... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos! |
Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba con los coeficientes:
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Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos ...
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Pero esta va hacia infinito negativo, porque −2/5 es negativo. |
Un ejemplo más difícil: Calcular "e"
Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:
(1 + 1/n)n
| En el infinito: | (1+1/∞)∞ = ??? ... ¡no lo sabemos! |
Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:
| n | (1 + 1/n)n |
|---|---|
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número mágico e (Número de Euler))
Así que tenemos aquí otra situación extraña:
- No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
- Pero vemos que va hacia 2.71828...
Así que escribimos la respuesta con límites:
Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e".
¡No te equivoques al escribirlo... !Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a 2.71828.... ¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real muy grande" (¡no lo es!) sale esto: (1+1/∞)∞
= (1+0)∞
= (1)∞
= 1 Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldrán respuestas equivocadas! Los límites son la manera correcta de hacerlo. |
(¡Error!)Evaluar límites
He intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.
Pero "evaluar" (es decir, calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más. Te lo explico en evaluación de límites.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
