Grado (de una expresión)

"Grado" puede significar varias cosas en matemáticas:

En álgebra, "grado" a veces se llama "orden"

Grado de un polinomio (con una variable)

Un polinomio tiene esta forma:

ejemplo de polinomio
ejemplo de un polinomio
éste tiene 3 términos

El grado (para un polinomio de una sola variable, como x) es:

el mayor exponente de esa variable.

polinomio

Más ejemplos:

4x   El grado es 1 (una variable sin un
exponente escrito en realidad tiene un exponente de 1)
     
4x3 − x + 3   El grado es 3 (máximo exponente de x)
     
x2 + 2x5 − x   El grado es 5 (máximo exponente de x)
     
z2 − z + 3   El grado es 2 (máximo exponente de z)

Nombres de grados

Cuando conocemos el grado, ¡también podemos darle un nombre!

Grado Nombre Ejemplo
0 Constante 7
1 Lineal x+3
2 Cuadrático x2−x+2
3 Cúbico x3−x2+5
4 Cuártico 6x4−x3+x−2
5 Quíntico x5−3x3+x2+8

Ejemplo: y = 2x + 7 tiene un grado de 1, por lo que es una ecuación lineal

Ejemplo: 5w2 - 3 tiene un grado de 2, por lo que es cuadrático

Las ecuaciones de orden superior suelen ser más difíciles de resolver:

Grado de un polinomio (más de una variable)

Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o −):

ejemplo de polinomio
ejemplo de un polinomio
con más de una variable

Para cada término:

El mayor de esos grados es el grado del polinomio.

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?

polinomio

El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?

4z3 + 5y2z2 + 2yz

Veamos cada término:

El mayor es 4, así que el polinomio tiene grado 4

Escribiéndolo

En lugar de decir "el grado de (lo que sea) es 3" lo escribimos así:

notación de grado

Cuando una expresión es una fracción

Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).

Aquí tienes tres ejemplos:

Calculando otros tipos de expresiones

Aviso: ¡Ideas avanzadas a continuación!

A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...

... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.

(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).

Nota: "ln" es la función logaritmo natural.

  botón ln en la calculadora

Aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de (3 más la raíz cuadrada de x)?

Vamos a tomar valores de x más y más grandes:

x log() log(x) log()
/log(x)
2 1.48483 0.69315 2.1422
4 1.60944 1.38629 1.1610
10 1.81845 2.30259 0.7897
100 2.56495 4.60517 0.5570
1,000 3.54451 6.90776 0.5131
10,000 4.63473 9.21034 0.5032
100,000 5.76590 11.51293 0.5008
1,000,000 6.91075 13.81551 0.5002

Mirando la tabla:

Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)

(Nota: esto coincide bien con x½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)

Algunos valores del grado

Expresión Grado
log(x) 0
ex
1/x −1
raíz 1/2


¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: se requiere un poco de inglés para comprenderlas).