Cómo Funciona un Quincunce
Un quincunce o "tablero de Galton" (llamado así en honor de Sir Francis Galton) es una distribución triangular de clavos. Se dejan caer bolas sobre el clavo de arriba y van rebotando hasta abajo, donde caen en pequeños contenedores. Cada vez que una bola cae sobre un clavo, rebota a la izquierda o a la derecha.
|
Pero esto es lo interesante: si siempre hay la misma
probabilidad de ir a derecha o izquierda, las bolas que caen en
los contenedores forman la famosa curva "de campana" de la distribución
normal. (Si las probabilidades no son iguales, de todas maneras sale una versión "torcida" de la distribución normal.) |
Fórmula
¡Podemos calcular las probabilidades!
|
La bola rebota k veces a la izquierda con probabilidad p: pk | ||
Y los otros (n-k) rebotes tienen probabilidad: (1-p)(n-k) | ||
Así que la probabilidad de seguir un camino así es pk(1-p)(n-k) |
¡Pero hay muchos caminos así! Por ejemplo ir a la izquierda podría pasar en los dos primeros rebotes, o primero y tercero, o segundo y séptimo, etc.
Podrías hacer una lista y contar (IIDDD.., IDIDD..., IDDDI...), pero hay dos maneras más fáciles.
Cuántos caminos
Puedes leer sobre el Triángulo de Pascal. De hecho, el quincunce es como el triángulo de Pascal, con clavos en lugar de números. El número en cada clavo te dice cuántos caminos diferentes llegan a ese clavo. Increíble pero cierto.
O puedes usar esta fórmula para Combinaciones:
Se suele decir "n sobre k" y escribir C(n,k). Es el cálculo del número de maneras de distribuir k cosas en una sucesión de n. |
|||
(El "!" significa "factorial", por ejemplo 4! = 1×2×3×4 = 24) |
Si lo juntamos todo, la fórmula que sale es:
(Por cierto, esta es la fórmula de la Distribución
Binomial).
Ejemplo:
Si hay 10 filas (n=10) y la probabilidad de ir a la izquierda es 0.5 (p=0.5), podemos calcular la probabilidad de caer en el tercer contenedor por la derecha (k=3) así:
también:
(Esto quiere decir que hay 120 caminos diferentes que acaban
con la bola en el tercer contenedor desde la derecha.)
Así que tenemos:
De hecho, podemos hacer una tabla completa para filas=10 y probabilidad=0.5 así:
Desde la derecha: | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Probabilidad: | 0.001 | 0.010 | 0.044 | 0.117 | 0.205 | 0.246 | 0.205 | 0.117 | 0.044 | 0.010 | 0.001 |
Ejemplo: 100 bolas | 0 | 1 | 4 | 12 | 21 | 24 | 21 | 12 | 4 | 1 | 0 |
Claro, este juego tiene azar así que los resultados reales no coinciden
con esta situación ideal.
Otro ejemplo:
Si la probabilidad de ir hacia la izquierda fuera 0.8 la tabla quedaría así:
Desde la derecha | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Probabilidad | 0.107 | 0.268 | 0.302 | 0.201 | 0.088 | 0.026 | 0.006 | 0.001 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
Ejemplo: 100 bolas | 11 | 26 | 30 | 20 | 9 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Prueba tú mismo
Deja caer 100 (o más) bolas en el quincunce y a ver qué resultados
salen. Yo lo he hecho muchas veces mientras escribía los programas de
software. Nunca salió el resultado perfecto, pero siempre salían
resultados sorprendentemente cerca. ¡Buena suerte!